نابرابری در مثلث

M_Sharifi · 1389/1/24

یه سوال.
برای هر مثلث با طول اضلاع

$a,b,c$

ثابت کنید

[center:94b8d51fac]

$\frac a{h_a+r_a}+\frac b{r_b+h_b}+\frac c{r_c+h_c}\geq\sqrt3$

[/center:94b8d51fac]

hkh74 · 1391/2/20

پاسخ : نابرابری در مثلث

(همه ی سیگما ها دوری اند)

$LHS=\sum \frac{a}{h_a+r_a}= \frac{1}{S}\sum \frac{a}{\frac{h_a}{S}+\frac{pr}{(p-a)S}}=\frac{1}{S}\sum \frac{a}{\frac{2}{a}+\frac{1}{p-a}}=\frac{1}{S}\sum \frac{a^2(p-a)}{b+c}$

پس

$LHS\ge \sqrt{3}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2(p-a)}{b+c}\geq \sqrt{3}S$

برای اثبات این نامساوی هم از تغییر متغیر معروف برای اضلاع مثلث استفاده می کنیم:

$a=y+z\: ,b=z+x\: ,c=x+y$

$\sum \frac{a^2(p-a)}{b+c}\geq \sqrt{3}S\Leftrightarrow \sum \frac{x(y+z)^2}{2x+y+z}\geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}$

عبارت های دوری ایجاد شده داخل سیگمای آخر را برای اختصار به ترتیب با

$A,B,C$

نمایش می دهیم:

$\sum A\geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}\Leftrightarrow \sum A^2+2\sum AB\geq 3xyz(x+y+z)$

می دانیم

$\sum A^2\geq \sum AB$

پس کافیست ثابت کنیم:

$\sum AB\geq xyz(x+y+z)$

$\sum AB=\sum \frac{xy(x+z)^2(y+z)^2}{(2x+y+z)(2y+z+x)}\geq xyz(x+y+z)$

نامساوی همگن است، پس می توانیم فرض کنیم مجموع متغیر ها برابر 1 است(حکم جدید) :

$X=\sum \frac{(1-x)^2(1-y)^2}{z(1+x)(1+y)}\geq 1$

از کوشی-شوارتز استفاده می کنیم:

$X(1+2\sum xy+3xyz)=X\sum {z(1+x)(1+y)}\geq \left(\sum (1-x)(1-y)\right)^2 \\ =\left( 1+\sum xy \right)^2 =1+2\sum xy+\left( \sum xy\right)^2\geq 1+2\sum xy+3xyz \\ \Rightarrow X\geq1$

به حکم رسیدیم!

mahanmath · 1391/2/22

پاسخ : نابرابری در مثلث

بعد از استفاده از Ravi ، همونطور که هادی نوشته ، کافیه ثابت کنیم

$\sum \frac{x(y+z)^2}{2x+y+z} \geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}$

$\sum \frac{x(y+z)^2}{2x+y+z} \geq \sqrt{3xyz(x+y+z)} \\ \Leftrightarrow \\ \sum \left (yz - \sum \frac{x(y+z)^2}{2x+y+z} \right ) \leq \sum xy -\sqrt{3xyz(x+y+z)} \\ \Leftrightarrow \\ \sum \left ( \frac{x^2 (y-z)^2}{(x+2y+z)(x+y+2z)} \right ) \leq \frac{\sum x^2(y-z)^2}{\sum xy + \sqrt{3xyz(x+y+z)}}$

که اینم بدیهیه چون

$\sum xy + \sqrt{3xyz(x+y+z)} \leq 2\sum xy < (\sum x)^2 < (x+2y+z)(x+y+2z)$

نابرابری در مثلث

M_Sharifi

راهبر ریاضی

hkh74

New Member

mahanmath

New Member