نامساوی + عدد نپر

hkh74 · 1391/3/11

یه سوال جالب اما نسبتا آسون:

برای هر

$n\in\mathbb{N}$

و

$x_1,x_2,\dots,x_n\in\mathbb{R}^+$

ثابت کنید: (e عدد نپر است)

$e^{x_1+x_2+\dots+x_n}\ge(1+x_1)(1+x_2)\dots(1+x_n)$

Aref · 1391/3/11

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

تابع مولد نمایی رو بنویسیم در میاد.:218:

seyed iman · 1391/3/11

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

خیلی ساده است. ای بتوان x بزرگتره از 1+x و اون ای بتوان ایکس ها رو میشه نوشت ضرب e بتوان ایکس ها..یعنی ای بتوان ایکس یک در ای بتوان ایکس دو در...
حالا تک تک جملات راست از چپ کوچک ترند و حکم ثابت شد!!
و اینکه ای بتوان x از 1+x بزرگتره با توجه به بسط تابع نمایی واضحه

mehran88 · 1391/3/11

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

با استقرا به نظرتون راحت تر نیست؟؟

البته این سه تا روشی که گفته شد فکر کنم منشائشون یکیه.

با یه روش جدیدتر بیایید حل کنیم.

hkh74 · 1391/3/11

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

ببخشید اگه آسون بود!

نامساوی قوی تر: به جای سمت چپ نابرابری (توان e)، بسط تیلور e^x رو تا جمله ی n+1 ام قرار بدید، نامساوی باز هم درسته.

Yousefi · 1391/3/11

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

$\forall y\geq 1 :(e^y \geq(y)) \Rightarrow \forall y\in \mathbb{R}^+ : e^y \geq (1+y)\Rightarrow e^{x_1}e^{x_2}...e^{x_n} \geq (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n) \Rightarrow e^{x_1+x_2+\dots+x_n}\ge(1+x_1)(1+x_2)\dots(1+x_n)$

hkh74 گفت

نفهمیدم چی شد! به جای توان e بسط تیلور بذاریم ؟ میشه با codcogs بنویسیدش ؟ please

alich100 · 1391/3/11

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

منم نفهمیدم!
البته قبلیه یه راه به ذهنم رسید این بود که کافیه ثابت کنیم مشتق e^x در نقطه 0 برابر یکه که هست!

Aref · 1391/3/11

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

hkh74 گفت

یه توضیح میدی چیکار کردی؟

seyed iman · 1391/3/11

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

یعنی بجای اینکه بگیم ای بتوان ایکس از یک بعلاوه ایکس بزرگتره...مثلن بگیم ای بتوان ایکس از یک بعلاوه ایکس بعلاوه ایکس دو دوم و....(بسط تیلور ای بتوان ایکس حول 0 تا مرتبه n بزرگتره)
و بعد همین کار هارو انجام بدیم.

hkh74 · 1391/3/12

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

منظورم اینه:
n+1 جمله ی اول بسط تیلور e^x برابر است با:

$f(x)=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}$

ثابت کنید:

$f(x_1+x_2+\dots+x_n)\ge(1+x_1)(1+x_2)\dots(1+x_n)$

که به وضوح از قبلی قوی تره.

Aref · 1391/3/12

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

خب:

$(\frac{(\sum x_i)^k}{k!})=(\frac{k!\sigma _k(x_1,x_2,\dots,x_n)}{k!})$

حالا این ها رو جمع بزنیم در میاد.

Aref · 1391/3/12

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

Aref گفت

اون مساوی منظورم <= بوده.

zz_torna2 · 1391/3/12

پاسخ : نامساوی + عدد نپر

hkh74 گفت

باید ثابت کنیم:

$ln[(x_{1}+1)...(x_{n}+1)]\leq x_{1}+...+x_{n}\Rightarrow ln(x_{1}+1)+...+ln(x_{n}+1)\leq x_{1}+...x_{n}$

پس کافی ثابت کنیم:

$ln(x+1)\leq x\Rightarrow e^{x}\geq x+1\Rightarrow e^{x}-x-1\geq 0$

که اگر تابع (f(X را به صورت

$e^{x}-x-1=f(x)$

معرفی کنیم با مشتق میشه ثابت کرد اکیدا صعودیه و چون

$f(0)=0$

و x ها مثبت اند پس اثبات تمامه!!

نامساوی + عدد نپر

hkh74

New Member

Aref

New Member

seyed iman

Well-Known Member

mehran88

New Member

hkh74

New Member

Yousefi

Well-Known Member

alich100

New Member

Aref

New Member

seyed iman

Well-Known Member

hkh74

New Member

Aref

New Member

Aref

New Member

zz_torna2

New Member