نامساوی n متغیره

Aref · 1391/3/12

فرض کنید

$a_1,a_2,\dots,a_n$

اعدادی حقیقی و نامنفی باشند که برای آنها داشته باشیم:

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1-a_ia_j}{i+j}\ge 0$

حداکثر مقدار ممکن برای عبارت

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_i+a_j}{i+j}$

را بیابید.
بسیار خفن:4:
Edited Latex

ash1374 · 1391/3/12

پاسخ : نامساوی n متغیره

سلام.
ببخشید ولی من سوال رو درست نمی فهمم. حداکثر اون عبارت قراره یه عدد ثابت بشه؟ واضحه که حداکثرش عدد ثابت نیست. یا اینکه من اشتباه فهمیدم؟ ممنون میشم توضیح بدی.

Aref · 1391/3/13

پاسخ : نامساوی n متغیره

ash1374 گفت

قراره یه عدد بر حسب

$n$

بشه دیگه. یعنی حداکثرش یه عبارتیه که مستقل از

$a_1,a_2,\dots,a_n$

بشه.

ash1374 · 1391/3/13

پاسخ : نامساوی n متغیره

بله،بله. ببخشید. اشتباه از من بود. فکر کردم i و j مخالفند

hkh74 · 1391/3/13

پاسخ : نامساوی n متغیره

ممنون از سوال خوبی که گذاشتین!
چندجمله ای های f,g را به اینصورت تعریف می کنیم:

$f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(1-a_ia_j)x^{i+j-1}$

$g(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(a_i+a_j)x^{i+j-1}$

در واقع:

$\int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \left (\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(1-a_ia_j)x^{i+j-1} \right )\, \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left (\int_{0}^{1} (1-a_ia_j)x^{i+j-1} \, \mathrm{d} x \right )\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1-a_ia_j}{i+j}$

$\int_{0}^{1} g(x)\, \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \left (\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(a_i+a_j)x^{i+j-1} \right )\, \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left (\int_{0}^{1} (a_i+a_j)x^{i+j-1} \, \mathrm{d} x \right )\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_i+a_j}{i+j}$

با انجام کمی محاسبات به دست می آید:

$xf(x)=\left (\sum_{i=1}^{n}x^i \right )^2-\left (\sum_{i=1}^{n}a_ix^i \right )^2$

$xg(x)=2\left (\sum_{i=1}^{n}x^i \right )\left (\sum_{i=1}^{n}a_ix^i \right )$

از فرض نتیجه می گیریم:

$\int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d} x\geq0$

یعنی:

$\int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d} x\geq0\Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{\left (\sum_{i=1}^{n}x^i \right )^2-\left (\sum_{i=1}^{n}a_ix^i \right )^2}{x}\, \mathrm{d} x\geq0\\ \Rightarrow 2\int_{0}^{1} \frac{\left (\sum_{i=1}^{n}x^i \right )^2}{x}\, \mathrm{d} x\geq\int_{0}^{1} \frac{\left (\sum_{i=1}^{n}x^i \right )^2+\left (\sum_{i=1}^{n}a_ix^i \right )^2}{x}\, \mathrm{d} x\geq 2\int_{0}^{1} \frac{\left (\sum_{i=1}^{n}x^i \right )\left (\sum_{i=1}^{n}a_ix^i \right )}{x}\, \mathrm{d} x\\ \Rightarrow 2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{i+j}\geq \int_{0}^{1} g(x)\, \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_i+a_j}{i+j}$

که بین کار از AM-GM استفاده شده(آخر خط دوم). و حالت تساوی هم از AM-GM به دست میاد، یعنی a_i ها برابر 1 باشن.

Aref · 1391/3/13

پاسخ : نامساوی n متغیره

مرسی، درسته. کلا اینجور مسائل با انتگرال به راحتی پودر میشه. در صورتی که حل اصلی طراح سوال با استقرا و خیلی بیخوده.

Aref · 1391/3/13

پاسخ : نامساوی n متغیره

البته تهش لازم نبود am-gm هم بزنیم. یعنی همین طوری هم میشد.
جالبه که این سوالا کافیه به زبان انتگرال نوشته بشن تا پودر بشن.

نامساوی n متغیره

Aref

New Member

ash1374

New Member

Aref

New Member

ash1374

New Member

hkh74

New Member

Aref

New Member

Aref

New Member