نامساوی

mrbayat · 1389/9/3

فرض کنید a,b,c اعدادی حقیقی و مثبت اند. ثابت کنید:
[center:bb4a3c4891]

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

[/center:bb4a3c4891]

alneon · 1389/9/3

اول به توان 2 برسونین و سمت راست رو هم باز کنین دو طرف رو به علاوه ی 3 کنین!!!!و از نامساوی روبه رواستفاده کنین:a^2/b^2 +1>=2a/b

و در آخر به a/b+b/c+c/a+a/c+c/b+b/a>=6میرسیم که با یک واسطه ی حسابی هندسی 6تایی واضح!!!!

mrbayat · 1389/9/3

راه حل من با کوشیه.با ساده کردن باید ثابت کنیم:

[center:a3601a0662]

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+\sum \frac{b}{a}\geq 3+\sum \frac{a}{b}$

[/center:a3601a0662]

که این هم درست است چون طبق کوشی:
[center:a3601a0662]

$(\frac{a^{2}}{b^{2}}+ \frac{b}{a})(1+\frac{a}{b})\geq (\frac{a}{b}+1)^2\Rightarrow (\frac{a^{2}}{b^{2}}+ \frac{b}{a})\geq (\frac{a}{b}+1)$

[/center:a3601a0662]

M_Sharifi · 1389/9/3

این هم یه راه بدون باز کردن:
طبق نابرابری کوشی-شوراتز،

[center:3cb10f77d4]

$\left(\sum\frac ab \right )\left(\sum\frac1c\right)\geq\left(\sum\sqrt{\frac a{bc}} \right )^2=\frac{(\sum a)^2}{abc},\\~~~~~~ \left(\sum\frac ab \right )\left(\sum c\right)\geq\left(\sum\sqrt{\frac {ac}{b}} \right )^2=abc\left(\sum\frac1a\right)^2$

حالا کافیه این دو تا نابرابری رو در هم ضرب کنید.

[/center:3cb10f77d4]

نامساوی

mrbayat

New Member

alneon

New Member

mrbayat

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی