نظریه اعداد 2

armin76 · 1392/4/28

تمام اعدادی را بیابید که مضربی داشته باشند که تمام ارقام آن ناصفر باشد .

mahanmath · 1392/4/28

پاسخ : نظریه اعداد 2

به وضوح شرط لازمی که هست اینه که

$10 \nmid n$

. نشون میدیم این شرط کافی هم هست. برای

$n$

هایی که نسبت به

$10$

اول هستند حکم بدیهیست، چون برای اون ها

$n \mid 10^{\varphi(n)} - 1$

. برای اعداد توان

$2,5$

احکام زیر که قوی تر هم هستند را می توان ثابت کرد :

حکم 1 : برای هر عدد طبیعی

$k$

، دقیقا یک عدد

$k$

رقمی با ارقام

$\left \{ 1,2 \right \}$

موجود است که بر

$2^k$

بخش پذیر باشد.
حکم 2 : برای هر عدد طبیعی

$k$

، دقیقا یک عدد

$k$

رقمی با ارقام

$\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$

موجود است که بر

$5^k$

بخش پذیر باشد.

armin76 · 1392/4/29

پاسخ : نظریه اعداد 2

mahanmath گفت

من هم تا همین قسمت حل رفته بودم اما قسمتی از حل سوال می ماند .این که عدد ما به صورت مضربی از توان 2 باشد که عامل فرد نیز داشته باشد و به همین صورت برای توان 5 (دارای عاملی باشد که نسبت به 5 اول است ) .

mahanmath · 1392/4/29

پاسخ : نظریه اعداد 2

اصلش ساختن اون اعداد

$k$

رقمی هست. مثلا برای ساخت مضربی برای عددی مثل

$5^k . s$

که

$(10,s)=1$

اینطور عمل می کنیم، فرض کنید

$m$

عددی

$k$

رقمی با ارقام ناصفر است که بر

$5^k$

بخشپذیر است. در این صورت با

$a=s\varphi(s)$

بار پشت سر هم نوشتن

$m$

، عددی برابر

$m+10^k .m + 10^{2k}.m + \dots + 10^{(a-1)k}.m = m . \frac{10^{am} - 1}{10^m - 1}$

خواهیم داشت که طبق لم دو خط بر

$s$

و در نتیجه بر

$5^k . s$

بخشپذیر است و چون

$m$

با ارقام ناصفر است، در شرایط مسئله کار می کند.

نظریه اعداد 2

armin76

New Member

mahanmath

New Member

armin76

New Member

mahanmath

New Member