يه نامساوي مثلثي

fereidoon · 1390/4/23

فرض كنيد

$a,b,c$

اضلاع يك مثلث باشند,ثابت كنيد:

$\sqrt{\frac{abc}{-a+b+c}}+\sqrt{\frac{abc}{a-b+c}}+\sqrt{\frac{abc}{a+b-c}}\geq a+b+c$

M_Sharifi · 1390/4/24

پاسخ : يه نامساوي مثلثي

fereidoon گفت

با تغییر متغیر

$a=x+y,\ldots$

و بعد تغییر متغیر

$xy=a^2,\ldots$

(این a,b,c با a,b,c مسئله فرق دارند) در نهایت باید ثابت کنیم

$(a+b+c)\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\geq4\sum a^2b^2$

طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

$2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)=\left((a+b)^2+(a-b)^2\right)\left((c^2+ab)^2+(ca-cb)^2 \right )\\ ~~~~~~~~~~~\geq\left((a+b)(c^2+ab)+(a-b)(ca-cb)\right )^2=\left(\sum_{sym} a^2b-2abc \right )^2$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$~~~(a+b+c)\left(\sum_{sym} a^2b-2abc\right)\geq4\sum a^2b^2\\ \iff(ab+bc+ca)\left(\sum a^2-2\sum ab\right)+3abc\sum a\geq0$

برای اثبات از نابرابری شور استفاده می کنیم:

$\left(\sum ab \right )\left(\sum a^2-2\sum ab\right)+3abc\sum a\geq \frac{-9abc\sum ab}{a+b+c}+3abc\sum a\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{3abc\left((a+b+c)^2-3\sum ab \right )}{a+b+c}\geq0$

يه نامساوي مثلثي

fereidoon

Active Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی