چندجمله ای

M-AHMAD · 1390/11/19

همه ی چند جمله ای ها با ضرایب صحیح را بیابید که به ازای a,b صحیح

$P(a) | P(b) \Rightarrow a | b$

Aref · 1390/11/19

پاسخ : چندجمله ای

$P(a)\mid P(a+P(a))\Rightarrow P(x)=xQ(x)$

$(a,b)=1\Rightarrow P(a)\mid P(b)\iff Q(a)\mid Q(b)$

قرار دهید:

$b=a+Q(a)$

.

$a$

را نیز عددی اول و به مقدار کافی بزرگ قرار دهید.
داریم:

$(a,a+Q(a))=(a,c_0)=1$

مگر زمانی که

$c_0=0$

.
(

$c_0$

جمله ی ثابت

$Q(x)$

است.)
پس

$a\mid a+Q(a)\Rightarrow x\mid Q(x)$

و به همین ترتیب و با استقرا به دست می آید که

$P(x)=cx^n$

.