چند جمله ای دو متغیره

assassin1 · 1394/9/10

تمام چند جمله ای های

$P(x)\epsilon \mathbb{R}[x]$

را بیابید که:

$p(x^2-y^2)=p(x-y)p(x+y)$

math · 1394/9/10

پاسخ : چند جمله ای دو متغیره

assassin1 گفت

به وضوح به صورت جداگانه

$x-y\: ,\: x+y$

در اعداد حقیقی پوشا هستن . پس میتوان نوشت برای هر a , b داریم :

$P(ab)=P(a)P(b)$

. (۱)

که چون چندجمله ای پیوسته هستش نتیجه میشه که

$P(a)=a^{n}$

.

معادله ی ۱ رو به روش دیگه ای هم میشه حل کرد . فرض کنید

$\alpha$

ریشه چند جمله باشد . پس هر ضریب حقیقی از ان هم ریشه است پس لزوما ریشه ان فقط صفر هست که با ادامه این روند به نتیجه میرسید .