چند جمله ای و چند ضلعی !!

math · 1392/6/21

ثابت کنید

$P\in \mathbb{C}\left [ x \right ]$

وجود ندارد به طوری که

$\left\{ P(z)\; |\;\left | z\right | =1\right\}$

در صفحه ی مختلط به شکل یه چند ضلعی شود .

(30 امتیاز)

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

راهنمایی :

ابتدا این مساله را حل کنید :

ثابت کنید چند جمله ایی وجود ندارد که برای هر n ، n نقطه روی نمودار ان یافت شوند که تشکیل n ضلعی منتظم بدهند ...

mahanmath · 1392/6/22

پاسخ : چند جمله ای و چند ضلعی !!

بدون اون راهنمایی هم خیلی ساده میشه حل کرد، به این صورت که قسمت حقیقی (موهومی) یه چندجمله ای روی هر دایره به شعاع ثابت، خودش به صورت یک چند جمله ای هست (بر حسب آراگومان)
به علاوه میشه ثابت کرد که شکل حاصل نمیتونه "لبه و شکستگی" داشته باشه حتی !

sepehr43 · 1392/6/23

پاسخ : چند جمله ای و چند ضلعی !!

mahanmath گفت

استاد میشه راهتون رو کامل بنویسید.خواهش!:176:

mahanmath · 1392/6/23

پاسخ : چند جمله ای و چند ضلعی !!

$z=e^{it} = \cos t + i \sin t \\ \Rightarrow \Re (P(z)) =\Re\left ( \sum_{k=0}^{n} a_k z^k \right ) =\Re \left (\sum_{k=0}^{n} a_k e^{itk} \right ) = \Re \left (\sum_{k=0}^{n} a_k \left (\cos(kt) + i \sin(kt) \right )\right ) \\ = \sum_{k=0}^{n} a_k \left ( T_k(\cos t) \right ) = \sum_{k=0}^{n} b_k (\cos t)^k$

پس مقدار حقیقی مقادیر یک چندجمله ای روی دایره واحد، خودش یک چند جمله ایست.

sepehr43 · 1392/6/23

پاسخ : چند جمله ای و چند ضلعی !!

mahanmath گفت

شرمنده من جبرم یه ذره ضعیفه.(یعنی زیر خط المپیاده!)
این 3 تا خط معادله،این جمله رو هم ثابت کرد؟:
((به علاوه میشه ثابت کرد که شکل حاصل نمیتونه "لبه و شکستگی" داشته باشه حتی !))
میشه لطف کنید یه ذره مفصل تر(زیر مرحله یک!) بنویسید.من سوت کشیدم اینو دیدم!

mahanmath · 1392/6/24

پاسخ : چند جمله ای و چند ضلعی !!

sepehr43 گفت

این رو هم ثابت می کنه، بله !
اگه میشد زیر مرحله یک حلش کرد سوال رو به این زیبایی رو برای مرحله 3 نمی سوزوندند !

چند جمله ای و چند ضلعی !!

math

New Member

mahanmath

New Member

sepehr43

New Member

mahanmath

New Member

sepehr43

New Member

mahanmath

New Member