یه نامساوی از کشور استرالیا

yasamin.m · 1390/11/30

a,b,c,dرا اعداد حقیقی در نظر بگیرید به طوری که
a^2+b^2≤1
نشان دهید

(ac+bd-1)^2≥(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1)

hkh74 · 1390/11/30

پاسخ : یه نامساوی از کشور استرالیا

yasamin.m گفت

اگر منظورتون سوال 2 فصل 11 جبر صفا است (استرالیا 1998) صورت سوال کمی فرق دارد(یک شرط رو ننوشتید):

$a,b,c,d\in\mathbb{R}$

و

$a^2+b^2\leq 1\; ,c^2+d^2\leq 1$

ثابت کنید:

$(ac+bd-1)^2\geq (a^2+b^2-1)(b^2+d^2-1)$

در ضمن برای نوشتن معادلات ریاضی میتونید از اینجا استفاده کنید.

mahanmath · 1390/11/30

پاسخ : یه نامساوی از کشور استرالیا

این یه حالت خاصی‌ از نامساوی Aczel هست . حالت کلی‌ تر مساله به این صورت خواهد بود :

$\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \leq 1 \Rightarrow (\sum_{i=1}^{n} a_ib_i -1)^2 \geq (\sum_{i=1}^{n} a_i^2 -1)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2 -1)$

به وضوح میتونیم فرض کنیم که

$\sum_{i=1}^{n} b_i^2 \leq 1$

، پس

$\exists \: a_{n+1} , b_{n+1} \geq 0 : \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 = \sum_{i=1}^{n+1} b_i^2 =1$

توجه کنید که حالا با استفاده از نامساوی کشی داریم

$\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \leq 1$

پس نابرابری بعد از جایگذاری متغیر‌های جدید و جذر گرفتن معادل می‌شه با

$1- \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \geq a_{n+1} b_{n+1}$

که این هم طبق کشی درسته :

$1= \sqrt{\left ( \sum_{i=1}^{n+1} {a_i}^2 \right )\left ( \sum_{i=1}^{n+1} {b_i}^2 \right )} \geq \sum_{i=1}^{n+1}a_i b_i$

hkh74 · 1390/11/30

پاسخ : یه نامساوی از کشور استرالیا

راهنمایی:
دو بار از کوشی-شوارتز استفاده کنید.

{ویرایش: جواب ها هم زمان شد}

yasamin.m · 1390/11/30

پاسخ : یه نامساوی از کشور استرالیا

من آخه از روی سوالای اصلیش همون انگلیسیشو میخوندم و هنوز به فصل 11 صفا نرسیدم و توی سوالای اصلی این شرط رو ننوشته بود و چهههههههههههه قدر من فکر کردم به دادم رسیدید ممنون

mahanmath · 1390/11/30

پاسخ : یه نامساوی از کشور استرالیا

yasamin.m گفت

شما صورت سوال رو کامل گفته بودید،همونطوری که توی پست بالا هم نوشتم عملا به شرط دوم نیازی نیست .

یه نامساوی از کشور استرالیا

yasamin.m

New Member

hkh74

New Member

mahanmath

New Member

hkh74

New Member

yasamin.m

New Member

mahanmath

New Member