یه نامساوی به صورت کلی

farid_frd · 1389/1/2

این سوال ابتکاریه و شایدم غلط

( من خودم واسه

$n= 3$

و

$n= 4$

رو اثبات کردم ولی کلیش ... امیدوارم شما کمک کنید )
اثبات کنید که در حالت کلی رابطه زیر برقراره :

$\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}+a_{i+1}}{a_{i+2}}\geq \frac{n}{2}$

که البته

$a_{n+1}=a_{1}$

و

$a_{n+2}=a_{2}$

و

$n\geq 3$

با استقرا میشه ؟؟؟؟

M_Sharifi · 1389/1/3

اون نابرابری که شما گفتید که بدیهیه. ولی اگه منظور شما این نابرابریه:
[center:232e1d1071]

$\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i-1}+x_{i+1}}\geq\frac n2$

اون موقع این نابرابری در حالت کلی درست نیست. حالا شما مثال نقضش رو بگید.

[/center:232e1d1071]اگر هم منظور شما این نابرابریه:
[center:232e1d1071]

$\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}\geq\frac n2$

این نابرابری هم ثابت شده که فقط به ازای

$n=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15,17,19,21,23$

[/center:232e1d1071]

درسته و به ازای مقادیر دیگه ی n غلطه.

M_Sharifi · 1389/1/3

حالا شما این سوال رو ثابت کنید:
برای هر

$n\geq3$

حداقل یکی از نابرابری های زیر برقرار است:
[center:9f809ff124]

و

[/center:9f809ff124]

farid_frd · 1389/1/3

آقای شریفی چرا بدیهیه؟

M_Sharifi · 1389/1/3

farid_frd گفت

چون اگه

$a_1,a_2,\ldots,a_n$

اعدادی مثبت باشند آن گاه
[center:162eba9684]

$\sum_{i=1}^n\frac{a_i+a_{i+1}}{a_{i+2}}\geq 2n$

یعنی میشه جای

$\frac n2$

مقدار

$2n$

رو هم قرار داد.

[/center:162eba9684]

farid_frd · 1389/1/3

M_Sharifi گفت

farid_frd گفت

چون اگه

$a_1,a_2,\ldots,a_n$

اعدادی مثبت باشند آن گاه
[center:99f2376eaa]

$\sum_{i=1}^n\frac{a_i+a_{i+1}}{a_{i+2}}\geq 2n$

یعنی میشه جای

$\frac n2$

مقدار

$2n$

رو هم قرار داد.

[/center:99f2376eaa]

اما اشاره به مثبت بودن اونها نشده

M_Sharifi · 1389/1/3

خوب اگه شرط مثبت بودن نباشه که اصلا نابرابری حتی برای اون حالت هایی که شما اثبات کردید هم غلط میشه. مثلا در حالت n=3 اگه اعداد

$1,1,-1$

رو در نظر بگیریم، مقدار سیگما برابر

$-2$

میشه.

یه نامساوی به صورت کلی

farid_frd

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

farid_frd

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

farid_frd

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی