a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a

M_Sharifi · 1390/2/22

یه سوال:
فرض کنید

$a,b,c$

اعدادی حقیقی و مثبت اند. ثابت کنید

$a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a)\geq2(ab+bc+ca)-3$

Farzad25 · 1390/2/24

پاسخ : a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a

سلام آقای شریفی این خیلی سخته کجاش مقدماتیه ؟

M_Sharifi · 1390/2/24

پاسخ : a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a

farzad25 گفت

سلام. سخت روش فکر نکنید.

mimilad · 1390/2/29

پاسخ : a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a

بعد از باز کردن و یکم کار های ساده جبری مسئله هم ارز میشود با

$بعد از اباز کردن مسئله به این می رسیم a^2 (a^2+2c-2b)+ b^2 (b^2+2a-2c) + c^2(c^2+2b-2a)\geq 2(ab+ac+bc) -3$

طبق کوشی داریم

$بعد از اباز کردن مسئله به این می رسیم a^2(a^2 +2b-2c) + b^2 (b^2+2a-2c) + c^2 (c^2 +2b -2a)\geq \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 + b^2 + c^2 }$

و داریم

$2 (ab+ ac + bc )\leq 2(a^2 + b^2 +c^2)$

و

$(a^3+ b^3 + c^3 )^2 + 3 (a^2 + b^2 + c^2)\geq 2 (a^2 + b^2 + c^2 )$

و

$(a^3+ b^3 + c^3)^2 \geq \frac{(a^2 + b^2 + c^2 )^2 }{a+b+c}\times (a^3 + b^3 +c^3)$

و

$( a^2 + b^2 + c^2 )\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\frac{(a+b+c)(a^3 +b^3 +c^3)}{3} + 3 \geq 2(a^2 +b^2 +c^2)$

$\Leftrightarrow (a^2+ b^2 +c^2)^2 + 9 \geq 6 (a^2 + b^2 +c^2 )$

درستی این نامساوی هم بنابر حسابی _هندسی درست است .

ببخشید بعضی جاها خوب توضیح ندادم و یا بعضی از نامساوی های اشکار رو دیگه نگفتم و ..........

Aref · 1390/2/29

پاسخ : a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a

mimilad گفت

اینجا نمیتونید از کوشی استفاده کنید. چرا که مثلا

$a^2+2b-2c$

لزوما مثبت نیست، و در نتیجه نمیشه از نابرابری کوشی شوارتز استفاده کنید.

Farzad25 · 1390/3/1

پاسخ : a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a

aref گفت

پس قاعدتا باید همه رو بیاریم سمت چپ و مربع کامل سازی و ... و ازاین کثیف کاریا بکنیم ثابت شه بزرگتر مساوی صفره
از این سوال چندشی هاست

M_Sharifi · 1390/3/1

پاسخ : a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a

Farzad25 گفت

کثیف کاری یعنی چی؟؟؟

a^4+b^4+c^4+2(a-b)(b-c)(c-a

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Farzad25

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mimilad

New Member

Aref

New Member

Farzad25

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی