n^3,3^n

ArseneLupin · 1389/5/10

همه ی

$n$

های طبیعی را طوری بیابید که

$3^{n}-n^{3}=1$

.

armath · 1389/5/10

راهنمایی: رشد

$3^n$

بیشتر از

$n^3$

است.

armath · 1389/5/11

و در حالت کلی هم رشد فاکتوریل بیشتر از نمایی و رشد نمایی بیشتر از چند جمله ای است

ArseneLupin · 1389/5/14

armath گفت

البته کاملا مشخصه که با نکته ای که گفتی این مسئله حل میشه ولی لطفا این سوال رو با قضایا و قوانین نظریه ی اعداد حل کنید.

diba1993 · 1389/5/14

ArseneLupin گفت

اگر p اول باشد و

$p^x=m*n$

و

$m\geq n$

آنگاه

$n\mid m$

:
براي n=1 معادله جواب ندارد و براي n>1 :

$3^n=(n+1)(n^2-n+1)\Rightarrow (n+1)\mid (n^2-n+1)$

$(n+1)\mid (n^2+2n+1)$

پس:

$n+1\mid 3n$

و

$n+1\mid 3n+3$

بنابراين

$n+1\mid 3$