p(1)+p(2)+....+p(999) = x

rezashiri · 1389/9/10

اگر

$p(x)$

حاصلضرب ارقام x باشد حاصل

$p(1)+p(2)+...+p(999)$

را بیابید.

mojtabaaa1373 · 1389/9/10

45.45.45+45.45+45

AidinT · 1389/9/10

mojtaba-1373 گفت

مطمئنی؟
من یه چیز دیگه بدست آوردم.
مشخصه که اگه ارقام x دارای 0 باشند در این صورت p(x)=0 پس کوچکترین عدد n رقمی که (p(x اون نامساوی 0 باشه دارای n رقم 1 هست.
می شه با استقرا ثابت کرد:

$\sum_{i=\underset{\big z}{\underbrace{1..1}}}^{\overset{\big z}{\overbrace{9..9}}} p(i) = (\sum_{i=1}^{9} i)^\big z$

برای حالت z = 1 که مشخصه. برای حالت z = n درست فرض می کنیم. برای z = n+1 حکم رو ثابت می کنیم. داریم:

$\sum_{i=\underset{n+1}{\underbrace{1..1}}}^{\overset{n+1}{\overbrace{9..9}}} p(i) = \underset{n}{\underbrace{1*..*1}} * 1 + \underset{n}{\underbrace{1*..*1}} * 2 +...+ \underset{n}{\underbrace{9*..*9}}*9$

$(\underset{n}{\underbrace{1*..*1}} + \underset{n}{\underbrace{1*..*2}}+...+\underset{n}{\underbrace{9*..*9}}) * (1+2+ ... + 9) = \sum_{i=\underset{\big n}{\underbrace{1..1}}}^{\overset{\big n}{\overbrace{9..9}}} p(i) * \sum_{i=1}^{9} i$

$= (\sum_{i=1}^{9} i)^{n+1}$

پس داریم :

$\sum_{i=1}^{9} + \sum_{i=11}^{99} + \sum_{i=111}^{999} =45+45^2+45^3 = 93195$

rezashiri · 1389/9/10

جواب
mojtaba-1373 درسته.

به
AidinT
چطوری مجموع اعداد 1تا 9 رو 55 بدست آوردی؟

mohammadi9 · 1389/9/11

P(1)+P(2)+...P(9)=1+2+...+9
P(10)+P(11)+...P(99)= (1+2+...+9)(1+2+...+9
P(100)+P(11)+...P(999)=(1+2+...+9)(1+2+...+9)(1+2+...+9

45+45*45+45*45*45

AidinT · 1389/9/11

rezashiri گفت

ببخشید

پس جواب من غلطه دیگه چون برابر نیست مقداری که من آوردم با مقداری که مجتبی آورده!

rezashiri · 1389/9/11

AidinT گفت

مارو گرفتی؟

خوب هردو تا یکین دیگه

m_math2010 · 1389/9/12

$3^{3}.5.7.103$

mojtabaaa1373 · 1389/9/14

خیر جواب 300 بار نوشته شد عامل 7 و 103 نداره.

p(1)+p(2)+....+p(999) = x

rezashiri

Well-Known Member

mojtabaaa1373

Active Member

AidinT

New Member

rezashiri

Well-Known Member

mohammadi9

New Member

AidinT

New Member

rezashiri

Well-Known Member

m_math2010

New Member

mojtabaaa1373

Active Member