sqrt{a_1^2+1}+sqrt{a_2^2+1}+...+sqrt{a_n^2++1

M_Sharifi · 1389/1/13

یه سوال:
فرض کنید

$a_1,a_2,\ldots,a_n$

اعدادی مثبت با حاصل ضرب 1 اند. ثابت کنید

[center:4142cf9e8d]

$\sqrt{a_1^2+1}+\sqrt{a_2^2+1}+\cdots+\sqrt{a_n^2+1}\leq\sqrt2(a_1+a_2+\cdots+a_n)$

[/center:4142cf9e8d]

seifi_seifi · 1389/1/13

با استقرا بر روی n مساله براحتی اثبات میشود.(حکم برای n=1 بدیهی و برای n=2 فقط لازمه به توان 2 برسونیم.)

mahanmath · 1389/1/13

seifi_seifi گفت

چه جوری از فرض استقرا استفاده میکنی ؟

seifi_seifi · 1389/1/14

روی n استقرا میزنیم. حکم برای n=1,2 درست است فرض کنید حکم برای n=k برقرار باشد. پس اگر برای اعداد

داشته باشیم :

آنگاه داریم : (ما a_k و a_k+1 را طوری انتخاب میکنیم که ضربشان کمتر از 1 باشد.)

پس داریم :

پس باید ثابت کنیم :

یعنی باید ثابت کنیم :

که این هم با توجه به این که

کمتر از 1 است نامساوی بالا درست است.

امیدوارم جایی رو سوتی نداده باشم.

M_Sharifi · 1389/1/14

seifi_seifi گفت

چه جوری ؟؟؟؟؟؟؟؟

seifi_seifi · 1389/1/14

اوهههه. فهمیدم.

من اشتباه کردم.

M_Sharifi · 1389/1/20

از نابرابری

$(\sqrt x-1)^4\geq0$

نتیجه می گیریم

[center:d8148e7a75]

$\frac{1+x^2}2\leq(x-\sqrt x+1)^2\Rightarrow \sqrt{\frac{1+x^2}2}\leq x-\sqrt x+1$

بنابراین

[/center:d8148e7a75][center:d8148e7a75]

$\sum_{i=1}^n\sqrt{1+a_i^2}\leq\sqrt2\sum_{i=1}^n a_i+\sqrt2\left(n-\sum_{i=1} ^n\sqrt{a_i}\right )\leq\sqrt2\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)$

(توجه کنید که

$\sum_{i=1}^n\sqrt{a_i}\geq n\root{2n}\of{a_1a_2\cdots a_n}=n$

)

[/center:d8148e7a75]