x^2=y.2^z+1

M_Sharifi · 1389/6/22

یه سوال:
همه ی اعداد طبیعی

$x>y>z$

را بیابید که

$x^2=y\cdot 2^z+1$

.

mimilad · 1390/3/20

پاسخ : x^2=y.2^z+1

چون x>y پس x^2 >y^2 پس خواهیم داشت : y*2^z +1>y^2 که نتیجه میدهد 2^z بزرگتر یا مساوی با y است .

حالا به با توجه به معادله خواهیم داست که :

$\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right ) =y 2^z$

و میدانیم :

$\left ( x+1,x-1 \right )=2$

پس خواهیم داشت داشت 2 به توان z-1 یکی از اعداد x-1 و یا x+1 را عاد میکند .
در این صورت خواهیم داشت (فرض کرده ایم 2 به توان z-1 عدد x+1 را عاد کند .)

$x+1=2^{z-1}k$

و همچنین خواهیم داشت :

$x-1 = 2s$

حال میدانیم حداقل مقدار k برابر 2 خواهد بود(اگر یک را در نظر نگیریم) و نشان میدهیم اگر بیشتراز این مقدار یعنی بزرگتر یا مساوی 3 باشد تناقض
است . زیرا در این حالت با توجه به این که

$\left ( x+1 \right )-\left ( x-1 \right )= 2$

به تناقض میرسیم .
پس تنها حالت زمانی است که k=2 که در این حالت داریم

$2^{z}=y+2$

و با قرار دادن در معادله جواب های ممکن ان را بدست میاوریم (چون کامپیوترم داغون شده نمیتونم همشو بنویسم .)
حالت k=1 را نیز تنها حالت

$2^{z-1}= y+1$

را میدهد که این را هم در معادله گذاشته و جواب های ممکن را بدست میاوریم . (اگه جاییش رو جا انداختم و......... ببخشیددلیلشو گفتم ) . ممنون

x^2=y.2^z+1

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mimilad

New Member