x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2
از چهار عدد
دو تا فرد و دو تا زوج هستن! چون 4 عدد متوالین می شه برای x≠3 ثابت کرد که:
حالا می شه گفت که تک تک عبارات
هر کدومشون مجذورن! حالا دو حالت داریم:
1-
:
پس باید x و x+2 هر کدومشون مجذور باشن، که همچین چیزی ممکن نیست(با استقرا می شه ثابت کرد فاصله ی هر دو مجذور از 2 بیشتره)، پس در این حالت جوابی نداریم
2-
:
مثل بالا باز هم هیچ جوابی نداریم.
برای حالت x = 3 هم داریم y^2 = 120 پس باز هم جوابی نداریم! پس مسأله در کل جوابی نداره!
حالا می شه گفت که تک تک عبارات
1-
پس باید x و x+2 هر کدومشون مجذور باشن، که همچین چیزی ممکن نیست(با استقرا می شه ثابت کرد فاصله ی هر دو مجذور از 2 بیشتره)، پس در این حالت جوابی نداریم
2-
مثل بالا باز هم هیچ جوابی نداریم.
برای حالت x = 3 هم داریم y^2 = 120 پس باز هم جوابی نداریم! پس مسأله در کل جوابی نداره!
مجبور شدم یه جا آپلود کنم جوابمو.
اینم لینکش:
http://eighty.persiangig.com/Mathematics/1.html
AidinT گفت
مجبور شدم یه جا آپلود کنم جوابمو.
اینم لینکش:
http://eighty.persiangig.com/Mathematics/1.html
ایده ی کلیش اینه که اگه دو تا از اعداد
عامل اول مشترکی داشته باشند، اون عامل یکی از اعداد 2,3,5,7 میتونه باشه. حالا اگه 5 تا عدد فرد بین این اعداد رو در نظر بگیریم، حداکثر دو تا مضرب 3، یک مضرب 5 و یک مضرب 7 میتونیم داشته باشیم. پس عددی وجود داره که هیچ یک از عامل های 2,3,5,7 رو نداره. پس نسبت به بقیه اوله و بنابراین باید مربع کامل باشه. حالا اگه عدد دیگه ای وجود داشته باشه که عامل 2,3,5,7 نداشته باشه اون عدد هم باید مربع کامل باشه. بنابراین دو عدد مربع کامل با فاصله ی حداکثر 10 داریم که به سادگی قابل به دست آوردن هستند.
اگر هم فقط یکی از این اعداد نسبت به بقیه اول باشه، عامل های 2,3,5,7 به یکی دو صورت خاص باید بین اعداد
پخش بشند. حالا روی این بحث کنید که مثلا عددی وجود داره که ب.م.م آن با حاصل ضرب بقیه ی اعداد برابر 2 میشه (و بنابراین دو برابر یک مربع کامله) و مشابه حالت قبل مقدار x رو محدود کنید.
اگر هم فقط یکی از این اعداد نسبت به بقیه اول باشه، عامل های 2,3,5,7 به یکی دو صورت خاص باید بین اعداد