x!+y!=z! in N

rezashiri · 1389/6/31

الف) معادله

$x!+y!=z!$

را در مجموعه اعداد طبیعی حل کنید.

ب) دستگاه زیر را در مجموعه اعداد طبیعی حل کنید. (این سوال توی آزمونی که برای مرحله اول گرفته بودم ، بود.)

$\left\{\begin{matrix} x+y=z & \\ x!+y!=z! & \end{matrix}\right.$

mahdisaj · 1389/6/31

$x!+y!=z!\rightarrow x< z\rightarrow x!\mid z!\rightarrow x!\mid x!+y!\rightarrow x!\mid y!$

به طریق مشابه داریم :

$y!\mid x!$

چون x ,y هر دو طبیعی اند پس x=y پس

$2x!=z!$

و چون z>x پس داریم :

$z!=x!.(x+1)...(x+m)\rightarrow x+1\mid 2\rightarrow x=1\rightarrow (x,y,z)=(1,1,2)$

قسمت ب هم همین طوری حل میشه
درسته ؟؟؟؟

AidinT · 1389/6/31

برای قسمت ب به سادگی جواب پایین رو جایگذاری می کنیم، اگه که درست بود(که هست) این تنها جوابیه که داره.
من واسه قسمت ب یه راه حل دیگه هم دارم اونم استفاده از این نامساویه:

$x! + y! \leq (x+y)!$

اثبات نامساوی بالا هم خیلی سادست.

rezashiri · 1389/6/31

می شه توضیح بدی چطوری به این نتیجه رسیدی:

$x! \mid z!$

AidinT · 1389/6/31

x!+y!=z! in N

rezashiri

Well-Known Member

mahdisaj

New Member

AidinT

New Member

rezashiri

Well-Known Member

AidinT

New Member