نامساوي , abc=8

mrbayat · 1392/5/19

الف)‌

$a,b,c$

اعدادي مثبت اند و

$abc = 8$

. نامساوي زير را ثابت كنيد:

$\frac{a^4}{ab^2+ac^2+16}+\frac{b^4}{bc^2+ba^2+16}+\frac{c^4}{ca^2+cb^2+16}\geq 1.5$

ب)

$a,b,c$

اعدادي مثبت اند و

$n \in \mathbb{N}$

و

$abc = 8^{n-1}$

. نامساوي زير را ثابت كنيد:

$\frac{a^{n+1}}{(b+c)^n}+\frac{b^{n+1}}{(c+a)^n}+\frac{c^{n+1}}{(a+b)^n}\geqslant 1.5$

Al!R3ZA · 1392/5/19

پاسخ : نامساوي , abc=8

ببخشید من اصلاً نامساوی بلد نیستم و ممکنه سوتی بدم ! اگه سوتی دیدین بگین بهم :161:
قسمت الف)
اول یکم ساده میکنیم نامساوی رو :

$\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2+16}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2+2abc}=\sum \frac{a^4}{a(b+c)^2}$

حالا یه کوشی میزنیم :

$(\sum \frac{a^4}{a(b+c)^2})( \sum a(b+c)^2 )\geq (\sum a^2)^2$

میدونیم :

$\sum a^2\geq 12$

و

$\sum a(b+c)^2\geq 3\sum abc = 3\times 24= 72$

در نتیجه :

$(\sum \frac{a^4}{a(b+c)^2})\geq \frac{12^2}{72}=2$

فک میکنم یه جا سوتی دادم !

mrbayat · 1392/5/19

پاسخ : نامساوي , abc=8

Al!R3ZA گفت

اولا :

$\sum a(b+c)^2 \geq 4\sum abc = 4\times 24$

ثانيا اينكه از نامساوي بالا و اين نامساوي

$\sum \frac{a^3}{(b+c)^2}\geqslant \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a(b+c)^2}$

نمي توان حكم را نتيجه گرفت.
كاري كه شما كرديد مثل اين گزاره است:

$A\geq 144 , B\geq 96\Rightarrow \frac{A}{B}\geq 144/96 = 1.5$

كه گزاره ي نادرستي است.
اما اين گزاره درست است:

$A\geq 144 , B\leq 96\Rightarrow \frac{A}{B}\geq 144/96 = 1.5$

msaeids · 1392/5/19

پاسخ : نامساوي , abc=8

ببخشید ولی برای ب باید این شرط رو بذارید که n>1.

mrbayat · 1392/5/20

پاسخ : نامساوي , abc=8

msaeids گفت

نه ، سوال درسته، براي n=1 هم درسته...

msaeids · 1392/5/20

پاسخ : نامساوي , abc=8

mrbayat گفت

بله شما درست میگید
من یه اشتباه کوچولو تو ساختن مثال نقض داشتم
ممنون

Aref · 1392/5/20

پاسخ : نامساوي , abc=8

mrbayat گفت

$a\ge b\ge c\Rightarrow \frac{a}{b+c}\ge \frac{b}{c+a}\ge\frac{c}{a+b}$

حالا کافیه که از نابرابری چبیشف استفاده کنیم.

mrbayat · 1392/5/20

پاسخ : نامساوي , abc=8

Aref گفت

ممنون ميشم اگه راه حلتون رو كامل بنويسيد.

نامساوي , abc=8

mrbayat

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

mrbayat

New Member

msaeids

New Member

mrbayat

New Member

msaeids

New Member

Aref

New Member

mrbayat

New Member