سوال نظریه اعداد

n_maths · 1392/7/15

سلام به همگی..جواب این سوال میشه معادله کلا جواب ندارد ؟
تمام اعداد اول

$p<q<r$

را بیابید که

$25pq+r=2004$
و در ضمن

$pqr+1$
مربع کامل باشد.
سوال 4 صفحه 180 کتاب صفا

Aria Keshtkar · 1392/7/15

پاسخ : سوال نظریه اعداد

$pqr+1=a^{2}\rightarrow pqr=\left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )$

$1)p\mid a-1\rightarrow \left\{\begin{matrix} 1)qr=a+1\Leftrightarrow qr-p=2\Leftrightarrow qr> p^{2}\geq 2p\geq p+2(impossible) & \\ 2)q=a+1\rightarrow pr=a-1\rightarrow q> pr> r(impossible) & \\ 3)r=a+1\rightarrow pq=a-1\rightarrow pq=r-2\rightarrow pq=\left ( 2004-25pq \right )-2\rightarrow pq=77\rightarrow \left ( p,q,r \right )=\left ( 7,11,79 \right ) & \end{matrix}\right.$

$2)p\mid a+1\rightarrow \left\{\begin{matrix} 1)qr=a-1\Leftrightarrow p> qr> r(impossible) & \\ 2)q=a-1\rightarrow pr=a+1\rightarrow pr-q=2\Leftrightarrow pr> 2r> 2q> q+2(impossible) & \\ 3)r=a-1\rightarrow pq=a+1\rightarrow pq=r+2\rightarrow pq=\left ( 2004-25pq \right )+2\rightarrow pq\simeq 77.1538(impossible) & \end{matrix}\right.$

Armin_sf · 1392/7/16

پاسخ : سوال نظریه اعداد

سوال 5 و 22 و 32 همين سوالات بدون حل صفارو هركس ميدونه راهنمايي بذاره
مرسي

zahra amini · 1392/7/16

پاسخ : سوال نظریه اعداد

سلام منم یه سوال دارم. ثابت کنید در یک تصاعد حسابی از اعداد طبیعی به ازای هر طول دلخواه یک زیر دنباله به آن طول از اعداد مرکب وجود دارد.

HNahari · 1392/7/17

پاسخ : سوال نظریه اعداد

zahra amini گفت

باید از قضیه باقیمانده چینی استفاده کنین. فرض کنید میخواین تو یه دنباله حسابی

$m$

مرکب متوالی پیدا کنین و جمله‌ی عمومی دنبالتون

$an+b$

باشه و اعداد اول متمایز

$p_{1}, p_{2}, \ldots p_{m}$

رو در نظر بگیرین. طبق قضیه‌ی باقیمانده چینی دستگاه معادلات همنهشتی زیر جواب داره:

$.\\ an\equiv -b ~(mod~ p_{1}^{2})\\ an\equiv -b-a ~(mod~ p_{2}^{2})\\ \ldots \\ \ldots \\ an\equiv -b-(m-1)a ~(mod~p_{m}^{2})$

پس این

$m$

جمله‌ی متوالی وجود داره و همشون هم مرکب هستن

Aria Keshtkar · 1392/7/17

پاسخ : سوال نظریه اعداد

Armin_sf گفت

پاسخ پرسش 5 :

$p> 5$

$p=3k+1,3k+2\rightarrow 3\mid p^{8}-1$

$p^{8}-1=\left ( p-1 \right )\left ( p+1 \right )\left ( p^{2}+1 \right )\left ( p^{4}+1 \right )\rightarrow \left\{\begin{matrix} 5\mid p^{8}-1\left ( p\neq 5k \right ) & \\ 2^{5}\mid p^{8}-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\mid p-1,p^{2}+1,p^{4}+1,4\mid p+1 & \\ 2\mid p+1,p^{2}+1,p^{4}+1,4\mid p-1 & \end{matrix}\right. & \end{matrix}\right.$

$\gcd \left ( 7^{8}-1,11^{8}-1 \right )=2^{5}.3.5=480$

بنابراین پاسخ

$480$

است.

n_maths · 1392/7/18

پاسخ : سوال نظریه اعداد

ثابت کنید معادله زیر در اعداد طبیعی بی نهایت جواب دارد:117:

a[SUP]3[/SUP]+1990b[SUP]3[/SUP]=c[SUP]4[/SUP]

HNahari · 1392/7/18

پاسخ : سوال نظریه اعداد

n_maths گفت

جواب

$1991^{3}+1990\cdot 1991^{3}=1991^{4}$

با یکم دقت به دست میاد. حالا فرض کنید

$t$

عددی طبیعی و بزرگتر از 1 باشه، به این ترتیب جواب بعدی رو می‌سازیم:

$a^{3}+1990b^{3}=c^{4}\Rightarrow a^{3}t^{12}+1990b^{3}t^{12}=c^{4}t^{12}\\ ~~~~~\Rightarrow (at^{4})^{3}+1990(bt^{4})^{3}=(ct^{3})^{4}\\ ~~~~~\Rightarrow (a,b,c)=(at^{4},bt^{4},ct^{3})$

چون

$t$

دلخواهه، پس این معادله بی‌نهایت جواب داره

n_maths · 1392/7/18

پاسخ : سوال نظریه اعداد

HNahari گفت

چه قدر جالب!!ممنونم!خیلی درگیرش بودم..

HNahari · 1392/7/18

پاسخ : سوال نظریه اعداد

یه سوال خوشگل :88: ب.م.م دو عبارت

$n!+1$

و

$(n+1)!$

رو پیدا کنید :88:

Aria Keshtkar · 1392/7/18

پاسخ : سوال نظریه اعداد

HNahari گفت

$\gcd \left ( \right n!+1,(n+1)!)=\gcd \left ( n!+1,(n+1)!-(n+1)(n!+1) \right )=\gcd \left ( n!+1,n+1 \right )$

$1)n+1\in \mathbb{P}\overset{wilson theorem}{\rightarrow}n!+1\equiv 0\left ( mod(n+1) \right )\rightarrow \gcd \left ( n!+1,n+1 \right )=n+1$

$2)n+1\notin \mathbb{P}\rightarrow p\mid n+1\left ( p\in \mathbb{P},p< n+1 \right )\rightarrow p\leq n\rightarrow p\mid n!\rightarrow n!+1\not\equiv 0(mod p\left )\rightarrow \gcd \left ( n!+1,n+1 \right )=1$

HNahari · 1392/7/18

پاسخ : سوال نظریه اعداد

خب سوال بعد :88: عدد

$3^{4^{5}}+4^{5^{6}}$

رو به شکل حاصل‌ضرب دو عبارت بزرگتر از

$10^{2002}$

بنویسید.

Aria Keshtkar · 1392/7/18

پاسخ : سوال نظریه اعداد

HNahari گفت

$b=2^\frac{{5^{6}-1}}{2}$

$a^{4}+4b^{4}=\left ( a^{2}-2ab+2b^{2} \right )\left ( a^{2}+2ab+2b^{2} \right )\rightarrow a^{2}-2ab+2b^{2}= \left ( a-b \right )^{2}+b^{2}\geq b^{2}=2^{{5^{6}-1}}>10^{2002}$

عامل دیگر هم که به وضوح از این عامل بزرگتر است.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

HNahari گفت

به عبارت دیگر می توان نتیجه گیری زیر را داشت که اگر داشته باشیم

$ax^{n-1}+by^{n-1}=z^{n}$

آن گاه پاسخ

$x=ry$

و

$y=ar^{n-1}+b$

و

$z=y$

نشان دهنده ی تعداد نامتناهی پاسخ است البته در صورت وجود

$r$

متناسب.
منتظر سؤال بعدی از اساتید محترم هستم.

HNahari · 1392/7/19

پاسخ : سوال نظریه اعداد

wowwww چه سرعت حل مسئه‌ای :88: شماها هم سوال بذارین دیگه، من یکی دیگه می‌ذارم که شاید رو مرز ترکیبیات و نظریه اعداد باشه:88: :
دو برادر n قطعه طلا با مجموع وزن 2n را پیدا کرده اند. وزن هر قطعه عددی صحیح است و سنگین‌ترین آن‌ها از مجموع وزن دیگر وزنه‌ها سنگین‌تر نیست. ثابت کنید اگر n زوج باشد، این دو برادر می‌توانند قطعه ها را به دو مجموعه با وزن برابر تقسیم کنند.

Aria Keshtkar · 1392/7/19

پاسخ : سوال نظریه اعداد

HNahari گفت

$x_{i}\leq n(i\in \left \{ 1,2,...,n \right \}),\sum_{i=1}^{n}x_{i}=2n$

$1)x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=2$

در غیر این صورت فرض می کنیم :

$2)x_{1}\neq x_{2}$

و دنباله ی زیر را در نظر می گیریم :

$x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...,x_{1}+x_{2}+...+x_{n}$

حال حالات زیر را داریم :

$1)n\mid \sum_{i=1}^{k}x_{i}$

$2)\sum_{i=1}^{k}x_{i}\equiv \sum_{i=1}^{k^{'}}x_{i}\left ( mod\ n\right )\left ( k> k^{'} \right )\rightarrow n\mid \sum_{i=1}^{k-k^{'}}x_{i}\ ,\ \left ( 0< \sum_{i=1}^{k-k^{'}}x_{i}< 2n \right )\rightarrow \sum_{i=1}^{k-k^{'}}x_{i}=n$

$3)x_{1}\not\equiv x_{1}+x_{2}\not\equiv x_{1}+x_{2}+x_{3}\not\equiv ...\not\equiv x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\ \left ( mod\ n \right )\overset{x_{1}\rightarrow x_{2}}{\rightarrow}x_{2}\not\equiv x_{1}+x_{2}\not\equiv x_{1}+x_{2}+x_{3}\not\equiv ...\not\equiv x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\ \left ( mod\ n \right )\rightarrow x_{1}\equiv x_{2}\ \left ( mod\ n \right )$

که در هر حالت مجزَا زیر مجموعه ای یافت می شود لذا اثبات کامل است.

HNahari · 1392/7/19

پاسخ : سوال نظریه اعداد

شش عدد که 0 و 1 در میان آن‌ها هستند روی وجوه یک مکعب نوشته شده‌اند. در هر مرحله، هریک از این اعداد را با میانگین حسابی چهار وجه مجاورش جایگزین می‌کنیم. پس از 25 بار تکرار این عمل به حالت اولیه رسیده‌ایم. ثابت کنید اشتباهی در محاسبات رخ داده است :88:

Aria Keshtkar · 1392/7/20

پاسخ : سوال نظریه اعداد

Armin_sf گفت

پاسخ پرسش 22 :
سؤال خیلی خیلی قشنگیه.
زیرمجموعه های 1 تا n عضوی مجموعه ی مورد نظر را در نظر گرفته و ثابت می کنیم توانایی تعمیم آنان با شرایط حکم به زیر مجموعه ای n+1 عضوی هست.

$1)n=1\rightarrow \left \gcd \left ( a^{2}+a-1,a^{3}+a^{2}-1 \right )=\gcd \left ( a^{3}+a^{2}-1,a^{4}+a^{3}-1 \right )=...=\gcd \left ( a^{n-1}+a^{n-2}-1,a^{n}+a^{n-1}-1 \right )=...=1$

$2)n> 1$

که در این حالت عدد زیر را در نظر می گیریم : (N حاصل ضرب اعضای زیرمجموعه ی n عضوی است و

$\gcd \left ( a,N \right )=1\xrightarrow[]{euler\ theorem}a^{\varphi (N)}\equiv 1\left ( mod\ N \right )$

) لذا به وضوح عضو n+1 ام , عضو زیر است :

$a^{\varphi \left ( N \right )+1}+a^{\varphi \left ( N \right )}-1\equiv a\ \left ( mod\ N \right )$

و اثبات کامل است.

nima1376 · 1392/7/20

پاسخ : سوال نظریه اعداد

HNahari گفت

کوچک ترین عدد کم میشود!!!

HNahari · 1392/7/20

پاسخ : سوال نظریه اعداد

nima1376 گفت

دوست عزیز دقیقتر توضیح بدین لطفا :88: یجوری بگین که همه متوجه بشن

HNahari · 1392/7/21

پاسخ : سوال نظریه اعداد

یه سوال خوب و جایزه‌دار(معنوی ولی ارزشمند :3

اگر t عددی گویا بین 0 و 1 باشد، ثابت کنید عبارت

$t^{4}-12t^{2}+4$

نمی‌تواند مربع کامل باشد.

سوال نظریه اعداد

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member