مسایلی در چند جمله ای ها

nima1376 · 1392/10/18

1-اگرp,Q دو چند جمله ای تکین باشند و

$P(P(X))=Q(Q(X))$

نشان دهید دو چند جمله ای برابرند.

MiMi1376 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

(p(p(X درجه اش حداکثر n^2 است و در مورد (Q(Q(X درجه ان حداکثر m^2 است حال چند جمله ای p-q را در نظر بگیرید. درجه ان حداکثر n^2 است(n>m) اما بی نهایت ریشه دارد پس متحد با صفر است وپس p و q با هم برارند

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

آخر راه حل شما راه حل شما غلطه
اصلا از تکین بودن استفاده نکردین و

فقط شما ثابت کردید برای هر x

$p(p(x))=q(q(x))$

که فرض سواله

ash1374 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

برهان خلف بزنید. پس اگر x به اندازه ی کافی بزرگ باشه هر دو تا چند جمله ای pوq صعودی اکید هستن. حالا باز اگز x به اندازه ی کافی بزرگ باشه چون طبق فرض خلف pبا q مساوی نیست، پس از یه جایی به بعد یکیشون همیشه از اون یکی اکیدا بزرگتره. مثلا فرض کنید p بیشتر باشه. پس برای x بزرگ :

$P(x)>Q(x)$

و از طرفی اگر x بزرگ باشه، p(x) , q(x هم بزرگند پس چون p و q برای اعداد بزرگ اکیدا صعودی هستن پس از دو طرف نامساوی بالا p میگیریم :

$P(P(x))>P(Q(x))$

از طرفی چون q(x هم بزرگه پس

$P(Q(x))>Q(Q(x))$

. لذا

$P(P(x))>Q(Q(x))$

که تناقضه...

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

سوال 2 تمام چند جمله های با ضرایب حقیقی را بیابید که

$P(X)^{2}+P(-X)=P(X^{2})+P(X)$

سوال 3 تمام چند جمله هایی با ضرایب حقیقی را بیابید به طوری که

$\forall n\in\mathbb{N};\left\lfloor p(\left\lfloor p(n)\right\rfloor)\right\rfloor=4\left\lfloor p(n)\right\rfloor-n$

یاد اون موقع ها به خیر که آقای شریفی سوال قرار میدادن حل قرار میدادن...

aras2213 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

برای سوال 2 میشه

$x^{2n},x^{2n}+1$

اگه درسته راه حل رو بنویسم

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

aras2213 گفت

برای سوال 2 جواب ها اینان

$x^{2p-1}+1,0,1,x^{2p}$

سوال راحتیه برای دست گرمی داده بودم

aras2213 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

nima1376 گفت

$-x\rightarrow 2(p(x)-p(-x))=(p(x)-p(-x))(p(x)+p(-x))$

$p(x)=p(-x)\rightarrow p(x^{2})=(p(x))^{2}\rightarrow p(x)=x^{n}\rightarrow p(x)=x^{2n}$

یا

$p(x)+p(-x)=2\rightarrow q(x)=P(x)+1\rightarrow q(x^{2})=(q(x))^{2}.......$

به نظر شما کجا اشتباه کردم؟
خودم احساس می کنم نتیجه گریم غلطه(اونجایی که دو حالت گرفتم)

math · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

nima1376 گفت

سوال المپیاد رومانی بوده و به راحتی میشه ثابت کرد که درجه های این دو چند جمله ای باهم برابر هستش حالا با استفاده از اتحاد چاق و لاغر مساله رو با دوگانه شماری درجه نابود کنید !!!!

دو سوال دیگه رو هم میتونید از این جا ببینید http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&p=3350271#p3350271

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

math گفت

2 سوال دیگر درسته اونجا هستن ولی کسی حل قرار نداده.
خودم فردا حلشون رو تو AoPS قرار میدم

aras2213 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

nima1376 گفت

راه حل من درست نیست؟

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

aras2213 گفت

حل شما درسته.

math · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

nima1376 گفت

من راه حل یکیش رو الان گذاشتم !!

AoPS Forum - Polynomial marathon • Art of Problem Solving

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

math گفت

من که یه بار گفتم این سوال راحته.
ولی سوالای دیگه سختند
من مد نظرم سوالای دیگست

Al!R3ZA · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

math گفت

ببخشید اون آخر ،
so what? :4:

math · 1392/10/19

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

Al!R3ZA گفت

:4::4::4::4:

خوب اگر

$\alpha$

ریشه باشد و

$\alpha ^{2}$

پس

$\alpha$

یکی از 1 یا 0 یا -1 یا ریشه های واحده که اگر بنویسید به راحتی میتوان دید که تنها ریشه 1 هست !!:3:

math1998 · 1393/2/21

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

همه ی زوج اعداد طبیعی a و b را بیابید که ax [SUP]17[/SUP] +bx[SUP]16[/SUP]+1بر x[SUP]2[/SUP]-x-1 بخشپذیر باشد

aras2213 · 1393/2/21

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

math1998 گفت

فرض کنید که

$(x^2-x-1)(a_{15}x^{15}+...+a_{1}x+a_{0})=ax^{17}+bx^{16}+1$

حالا ثابت کنید برای هر

$1\leq i\leq 14$

،

$a_{i}=f_{16-i}\times a+f_{15-i}\times b$

و

$a_{15}=a$

که

$f_{i}$

جمله ی i ام دنباله ی فیبوناچیه حالا کافیه ضرایب

$x^2,x,x^0$

رو در دو طرف مقایسه کنید.(اگه اشتباهی داشت ببخشید دیگه)

یه سوال خوب:آیا چهار چندجمله ای وجود دارند به طوری که جمع هر سه تای آنها ریشه ای حقیقی داشته باشد ولی جمع هیچ دو تایی ریشه حقیقی نداشته باشد؟

amin · 1393/2/21

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

math1998 گفت

یه راهی که که به ذهنم رسید(امتحانش نکردم درست و غلطش رو نمیدونم)اینه که:

$\frac{ax^{17}+bx^{16}+1}{x^{2}-x-1}=Q(x)\Rightarrow x^{2}-x-1=0\rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

بعد با جایگذاری x در

$ax^{17}+bx^{16}+1=0$

و حل دستگاه a و b پیدا میشه

AHZolfaghari · 1393/5/13

پاسخ : مسایلی در چند جمله ای ها

aras2213 گفت

در واقع باید گراف این چهار تا رو بکشید و روابط بینشون رو بررسی کنید و به این نکته دقت کرد که یه چند جمله ای اگه ریشه نداره همیشه مثبت هستش و یا همیشه منفی و حالت بندی کرد. مثلا p1 + p2 اگه ریشه نداره یا همیشه مثبته با همیشه منفیه . با این کارا حل میشه

مسایلی در چند جمله ای ها

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member