امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

Aref · 1392/10/19

سوال 1:
نشان دهید برای هر

$x\in [0,\frac{1}{2}]$

نامساوی

$(1-x)e^{(x+x^2)}\ge1$

برقرار است.

سوال 2:
نمودار تابع

$f:[1,2]\to\mathbb R$

با ضابطه ی

$f(x)=\frac{1}{x\sqrt{1+x}}$

را حول محور

$x$

ها دوران می دهیم. حجم ناحیه ی تولید شده را به دست آورید.

سوال 3:

مقدار

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}$

را با ذکر دلیل محاسبه کنید.

سوال 4:

$f:\mathbb R\to\mathbb R$

یک تابع مشتق پذیر با مشتق پیوسته است به طوری که

$|f'(x)|\le M$

برای هر

$x\in \mathbb R$

. ثابت کنید:

الف) اگر برای

$c\in \mathbb R$

داشته باشیم

$f(c)=0$

آنگاه برای هر

$h\in \mathbb R$

داریم:

$\left|\int_c^hf(x)\mathrm d x\right|\le \frac{1}{2}M(h-c)^2$

ب) اگر برای

$a< b$

داشته باشیم

$f(a)=f(b)=0$

، آنگاه

$\left|\int_a^bf(x)\mathrm d x\right|\le \frac{1}{4}M(a-b)^2$

سوال 5:

شعاع همگرایی سری توانی

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n\ln n}$

با متغیر حقیقی

$x$

را محاسبه کنید و همگرایی آن را در نقاط ابتدایی و انتهایی بازه ی همگرایی بررسی کنید.

سوال 6:
تابع

$f(x)=\int_{x^2}^{x^2+1}\sin(e^t)\mathrm d t$

را در نظر می گیریم.
الف) مشتق

$f$

را محاسبه کنید.
ب) نشان دهید

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$

.

Al!R3ZA · 1392/10/19

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

برای سوال 1 ، اگه میشه بگین راهم درسته؟
از تابع داده شده مشتق میگیریم ، میشه :

$e^{x^2+x}(x-2x^2)$

واضحه مشتق تابع توی

$x\in [0,\frac{1}{2}]$

، مثبته. پس میتونیم بگیم تابعمون صعودیه. پس اگه ابتدای بازمون ، توی شرط معادله صدق کنه ، با توجه به صعودی بودن تابع ، کلاً حکم برقراره. حالا ابتدای تابع رو بررسی میکنیم :

$f(x)=(1-x)e^{x^2+x} \overset{x=0}{\rightarrow} f(0)=1 \times e^0 =1$

که میبینیم حکم برقراره.

hosseinmoghaddas · 1392/10/19

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

Aref گفت

سوال 1:
نشان دهید برای هر

$x\in [0,\frac{1}{2}]$

نامساوی

$(1-x)e^{(x+x^2)}\ge1$

برقرار است.

سوال 2:
نمودار تابع

$f:[1,2]\to\mathbb R$

با ضابطه ی

$f(x)=\frac{1}{x\sqrt{1-x}}$

را حول محور

$x$

ها دوران می دهیم. حجم ناحیه ی تولید شده را به دست آورید.

سوال 3:

مقدار

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}$

را با ذکر دلیل محاسبه کنید.

سوال 4:

$f:\mathbb R\to\mathbb R$

یک تابع مشتق پذیر با مشتق پیوسته است به طوری که

$|f'(x)|\le M$

برای هر

$x\in \mathbb R$

. ثابت کنید:

الف) اگر برای

$c\in \mathbb R$

داشته باشیم

$f(c)=0$

آنگاه برای هر

$h\in \mathbb R$

داریم:

$\left|\int_c^hf(x)\mathrm d x\right|\le \frac{1}{2}M(h-c)^2$

ب) اگر برای

$a< b$

داشته باشیم

$f(a)=f(b)=0$

، آنگاه

$\left|\int_a^bf(x)\mathrm d x\right|\le \frac{1}{4}M(a-b)^2$

سوال 5:

شعاع همگرایی سری توانی

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n\ln n}$

با متغیر حقیقی

$x$

را محاسبه کنید و همگرایی آن را در نقاط ابتدایی و انتهایی بازه ی همگرایی بررسی کنید.

سوال 6:
تابع

$f(x)=\int_{x^2}^{x^2+1}\sin(e^t)\mathrm d t$

را در نظر می گیریم.
الف) مشتق

$f$

را محاسبه کنید.
ب) نشان دهید

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$

.

سلام. سوال شماره 2 که دامنه اش اون نیست! مربوط به اعداد مختلطه؟؟؟؟ آخه اعداد مختلط هم نمیشه!! خود سوال گفته تابعی به اعداد حقیقی!!
میشه لطفا توضیح بدید این سوال رو و بگید چه شکلی حل میشه؟؟
ممنون

mehran88 · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

hosseinmoghaddas گفت

سلام حسین جان.

اون منهائه اشتباه تایپ شده.به علاوه ست.فک کنم اصلا با منها بی معنی باشه.

Aref · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

Al!R3ZA گفت

آره درسته.
اون سوال دو هم تصحیح شد.

mehran88 · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

سلام.

واسه اثبات واگرایی

$\sum \frac{1}{nlnn}$

به غیر از تجمع کوشی و آزمون انتگرال چه روش های دیگه ای وجود داره؟

hosseinmoghaddas · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

Aref گفت

خب، حالا لطفا شما یا آقا مهران توضیح میدید که چه جوری باید حل کرد؟
یه توضیح کوچولو هم خوبه. اگر مفصلتر باشه که چه بهتر!!
باید انتگرالش رو بگیریم؟؟؟؟ من یک راه در ذهنم دارم که از انتگرال استفاده می کنه. اما خب، بعید می دونم به نتیجه برسه. به دو دلیل. اولیش اینه که انتگرالش خیلی سخته. از معلمم پرسیدم انتگرالش رو و گفت:خیلی سخته!!! چند دقیقه نشست و انتگرالش رو گرفت و نشونم داد.داخلش tanh داشت. بعد گفت tanh تانژانت هذلولوی(!!) هست.من قبلا ها یه چیزایی تو شهشهانی خونده بودم درباره اش ولی الان یادم نمیاد. نتیجه این که: انتگرالش سخته!!! دلیل دومش رو هم خودم می دونم!!!:4:
مخلص کلام این که لطفا راه حلش رو بگید.
ممنون.

Aref · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

hosseinmoghaddas گفت

تا جایی که یادمه در هیچ کدام از سوالات امتحان تابع tanh ظاهر نمی شد. اصلا هم سخت نیست. کافیه از تجزیه به کسر های جزئی استفاده کنید.

mehran88 · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

hosseinmoghaddas گفت

خب.اول از همه مجموع ریمان باید بدونی چیه(اگه شهشهانی رو خونده باشی کامل توضیح داده)

اولش یه افراز در نظر میگیریم و میگیم که ضخامتش به صفر میل میکنه و نقطه انتهایی(یا ابتدایی.بستگی به خودت داره) هر بازه افراز رو به عنوان ورودی تابع مون در نظر میگیریم.
فرم افراز هم این شکلیه.

$0<i<n-1,\frac{i}{n}$

تابع

$\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}$

رو در نظر میگیریم و مجموع ریمان

$\sum_{i=1}^{n-1}f({x_{i}}^{*})(x_{i}-x_{i-1})$

رو با توجه به افراز بالا واسش مینویسیم.

$\forall i: x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}$

${x_{i}}^{*}=\frac{i}{n}$

$\sum_{i=1}^{n-1}f({x_{i}}^{*})(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{(\frac{i}{n})-(\frac{i}{n})^{2}}}=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{i(n-i)}}$

یه مشکل اساسی دیگه هم وجود داره که استاد ما یه جلسه حدود 1 ساعت(!!!) راجع بهش باهامون صحبت کرد که آخر سر میگم.

این انتگراله رو دو جور میشه گرفت.دو جواب به ظاهر متفاوت داره ولی ثابت میشه با هم برابرند(اولین بار این انتگراله رو سر کلاس T.A گرفتیم و شاخ در آوردیم دو جواب مختلف و درست داره!).توی هیچ کدوم از دو جوابش tanh نداره.البته فکر هم نمی کنم اتحادی موجود باشه که جواب این انتگرال رو به tanh تبدیل کنه.

$\int \frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}=\int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$

$\sqrt{x}=u\rightarrow dx=2udu$

$2\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=2sin^{-1}\sqrt{x}+C$

روش بعدی انتگرال گرفتن هم اینه که زیر رادیکال رو مربع کامل کنی و دوباره حاصل انتگرال یه چیزی میشه که سینوس اینورس ایکس رو داره.

اما اون اشکاله.کران این انتگرال روی 0 و 1 هستش و واضحه که روی نقاط نزدیک صفر و یک حاصل سری دچار مشکل میشه و این بحث پیش میاد که اصلا ممکنه اون سری ریمان ممکنه با انتگرال تابعی که ما حساب کردیم برابر نباشه.

توی شهشهانی یه قضیه ای هست که اثبات میکنه اگه حاصل انتگرال ناسره مون همگرا شد اون موقع اون سری ریمان همگرا به مقدار انتگرال مونه و مشکلی نیست که اینجا هم همین اتفاق افتاده.

البته یه نکته ای رو هم گوشزد کنم که کتاب ریاضی 1 شهشهانی یه کتاب آنالیز خالصه و درسنامه ش واقعا خوبه.اما واسه حل مسئله فقط به شهشهانی تکیه نکن و سراع کتابای کاربردی تر و غیرریاضیاتی تر برو.

hosseinmoghaddas · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

mehran88 گفت

خب.اول از همه مجموع ریمان باید بدونی چیه(اگه شهشهانی رو خونده باشی کامل توضیح داده)

اولش یه افراز در نظر میگیریم و میگیم که ضخامتش به صفر میل میکنه و نقطه انتهایی(یا ابتدایی.بستگی به خودت داره) هر بازه افراز رو به عنوان ورودی تابع مون در نظر میگیریم.
فرم افراز هم این شکلیه.

$0<i<n-1,\frac{i}{n}$

یه مشکل اساسی دیگه هم وجود داره که استاد ما یه جلسه حدود 1 ساعت(!!!) راجع بهش باهامون صحبت کرد که آخر سر میگم.

این انتگراله رو دو جور میشه گرفت.دو جواب به ظاهر متفاوت داره ولی ثابت میشه با هم برابرند(اولین بار این انتگراله رو سر کلاس T.A گرفتیم و شاخ در آوردیم دو جواب مختلف و درست داره!).توی هیچ کدوم از دو جوابش tanh نداره.البته فکر هم نمی کنم اتحادی موجود باشه که جواب این انتگرال رو به tanh تبدیل کنه.

$\int \frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}=\int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$

$\sqrt{x}=u\rightarrow dx=2udu$

$2\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=2sin^{-1}\sqrt{x}+C$

روش بعدی انتگرال گرفتن هم اینه که زیر رادیکال رو مربع کامل کنی و دوباره حاصل انتگرال یه چیزی میشه که سینوس اینورس ایکس رو داره.

اما اون اشکاله.کران این انتگرال روی 0 و 1 هستش و واضحه که روی نقاط نزدیک صفر و یک حاصل سری دچار مشکل میشه و این بحث پیش میاد که اصلا ممکنه اون سری ریمان ممکنه با انتگرال تابعی که ما حساب کردیم برابر نباشه.

توی شهشهانی یه قضیه ای هست که اثبات میکنه اگه حاصل انتگرال ناسره مون همگرا شد اون موقع اون سری ریمان همگرا به مقدار انتگرال مونه و مشکلی نیست که اینجا هم همین اتفاق افتاده.

شرمنده کردید. ممنون. من کلا اشتباهی که کردم این بود: مخرج رو + می گذاشتم به جای ضرب!!!!!!!!
دستتون درد نکنه. خیلی خوب توضیح دادید. ممنون.

mehran88 · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

mehran88 گفت

$0<i<n-1,\frac{i}{n}$

این نکته جا موند که تابع متناظر با ریمان رو چجور پیدا کردیم

تابع

$\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}$

رو در نظر میگیریم و مجموع ریمان

$\sum_{i=1}^{n-1}f({x_{i}}^{*})(x_{i}-x_{i-1})$

رو با توجه به افراز بالا واسش مینویسیم.(واضحه که این عملیات رو میشه بر عکس هم انجام داد)

$\forall i: x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}$

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{x_{i}}^{*}=\frac{i}{n}

نمیدونم لاتکس چرا داره ادا در میاره.لینکاش رو خودت باز کنی درست میاره.
http://latex.codecogs.com/gif.latex...)^2}}=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{i(n-i)}}]

ash1374 · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

سوال اول: مشتق بگیرید. تابع صعودیه.

سوال دوم: حجمش میشه

$\pi \int_{1}^{2}f(x)^{2}dx$

و همینطور دقت کنید

$\frac{1}{x^{2}(x+1)}=\frac{-1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{1+x}$

سوال سوم: همونطور که حل کاملش رو بچه ها گذاشتن به مجموع ریمان

$\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$

دقت کنید. فکر کنم جواب آخرش pi بود.

سوال چهارم:الف) فرض کنید h>c باشه. از c خطی به شیب m عبور بدین و ثابت کنید قدر مطلق تابع f کاملا زیر این خط قرار داره.
ب: از حکم الف دوبار استفاده کنید.

سوال پنجم: برای

$|x|>1$

به صفر میل نمیده و واگراست. برای

$|x|<1$

طبق آزمون مقایسه همگراست. برای x=-1 طبق آزمون لایبنیتز همگراست. برای x=1 به انتگرال

$\int_{2}^{\infty }\frac{1}{xln(x)}=ln(ln(x)) |_{2}^{\infty }$

دقت کنید.

سوال ششم: الف) خیلی آسونه

ب: سر جلسه که زورم بهش نرسید. بچه هایی که حل کردند اگه حلش رو بگذارند خیلی ممنون میشیم.

mehran88 · 1392/10/20

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

سلام.

جواب قسمت 6 ب رو میذارم.البته روش های دیگه ای هم وجود داره که کمی طولانی ترند و نمیشه اینجا گذاشت.

ابتدا تغییر متغیر

$e^t=x$

میدیم و جز به جز میزنیم.

$sinx=f^{'}, \frac{1}{x}=g$

کران های انتگرال معین مون هم میشه

$e^{x^{2}}$

و

$e^{x^{2}+1}$

که دیگه نمینویسم.

$=-\frac{cosx}{x}-\int \frac{cosx}{x^2}dx$

حد

$-\frac{cosx}{x}$

که واضحه صفره و نمینویسمش.

$|\int \frac{cosx}{x^2}dx|\leq \int \frac{|cosx|}{x^2}dx\leq \int \frac{1}{x^2}dx$

$\int \frac{1}{x^2}dx$

هم که واضحه صفره.

تمام.

H O S E I N · 1392/10/29

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

من واسه 6 ب اینو نوشتم ولی 5 نمره نگرفتم :

بعد از تغییر متغییر داریم

$f(x)=\int_{e^{x^2}}^{e^{x^2+1}}\frac{sin \gamma}{\gamma}d\gamma$

واسه گامای مثبت داریم :

$-\frac{1}{\gamma}\leq\frac{sin \gamma}{\gamma}\leq\frac{1}{\gamma}$

از طرفی میدونیم اگه کران بالای انتگرال از کران پایین بزرگتر باشه نامساوی های بالا برای انتگرال طرفین هم صحیحه.

خب اگه انتگرال دو طرف رو حساب کنیم و حد بگیریم و .... میرسیم به این که دو طرف حدشون صفره. بنابر این حد وسط هم باید صفر باشه.

عیب این راه کجاست ؟

mehran88 · 1392/10/29

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

H O S E I N گفت

سلام حسین جان.

توی حد گرفتنش سوتی دادی. حدشون میشه 1 و -1.صفر نمیشه.

$lnt_{e^{x^2}}^{e^{x^2+1}}=(x^2+1)-x^2=1$

H O S E I N · 1392/10/30

پاسخ : امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

mehran88 گفت

آقا ممنون !

من جای مصحح بودم کلن به این برگه صفر میدادم :4:

امتحان پایان ترم ریاضیات عمومی 1

Aref

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

hosseinmoghaddas

New Member

mehran88

New Member

Aref

New Member

mehran88

New Member

hosseinmoghaddas

New Member

Aref

New Member

mehran88

New Member

hosseinmoghaddas

New Member

mehran88

New Member

ash1374

New Member

mehran88

New Member

H O S E I N

New Member

mehran88

New Member

H O S E I N

New Member