ماراتن هندسه

AHZolfaghari · 1393/6/7

به درخواست یکی از دوستان ماراتن هندسه رو هم راه اندازی می کنم . به امید خدا این تاپیک هم رونق داشته باشه ! و خوب بره جلو
قوانینش هم مشخصه دیگه تا یه سوال حل نشده سوال جدید نذاره . اگر هم میشه شماره سوال رو بذارید تا معلوم باشه
و اینکه تا حد امکان لینک از جایی ندید دیگه اگه یه سوال حل نشد مجبور شدید لینک بدید . باتشکر !!

و یکی اینکه اگه سوالی رو میدونید سوال کدوم کشوره بعد از حلش بگید

1
در مثلث ABC وسط ضلع BC را با M نشان می دهیم .وسط کمان BC را که شامل A نیست را نیز T می نامیم و I مرکز دایره محاطی مثلث است.
اثبات کنید :

$cos \hat{B} + cos \hat{C} = 1\Leftrightarrow MI = MT$

amin · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

فقط نمیدونم چرا هرچی عکسو اپلود میکنم میگه معتبر نیست!!؟
دیگه به بزرگی خودتون ببخشید.

$CI=BI\Rightarrow \hat{M}=90\Rightarrow MC=MB\Rightarrow TC=BC\Rightarrow 1)B_{2}=C_{2}.....2)IT=IT...3)IC=IB\Rightarrow ICT=IBT\Rightarrow TCT-IMB=TBI-ICM\Rightarrow BMT=CMT\Rightarrow MT=IM\Rightarrow cosB=\frac{MI}{IB}=\frac{IT}{2IB}=\frac{r}{2r}=cosC=\frac{MI}{IC}\Rightarrow cosC+cos B=1\Leftrightarrow MI=MT$

AHZolfaghari · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

amin گفت

ببخشید چرا bi = ic ؟؟

darya.f · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

http://latex.numberempire.com/rende...ow IM=MT&sig=c4ffaf38d05b7c1866172ba43808776a

${IT}^{2}%20-2{IT}^{2}.COSB={IC}^{2}2%20{IT}^{2}%20-2{IT}^{2}.COSB={IB}^{2}\Rightarrow%20%204{IT}^{2}-2{IT}^{2}.(COSB+COSC)={IC}^{2}+{IB}^{2}\Rightarrow%202{IT}^{2}=%20{IC}^{2}+{IB}^{2}{IB}^{2}={IM}^{2}+{BM}^{2}-2IM.BM.COSBMI%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20{IC}^{2}={IM}^{2}+{MC}^{2}-2IM.MC.COSCMI\Rightarrow%20%20%20{IB}^{2}+{IC}^{2}=2{IM}^{2}+2{BM}^{2}+0=2{IT}^{2}%20\Leftrightarrow%20IM=MT$

AHZolfaghari گفت

math1998 · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

darya.f گفت

ایراد داره با چیزی که تو خط اول نوشتی یعنی

$IC=0$

ممکنه اشتباه تایپی باشه !!!
در ضمن فقط یه طرفرو اثبات کردید!!!

darya.f · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

math1998 گفت

نه تو خط اول قضىه کسىنوسا تو ITC نوشتم ,راه واسه هر 2طرف ىکسانه ىنى اونجا که باىد بگىم

$2 IT^{2} =IC^{2}+IB^{2}$

اىن ىبار فرضه ىبار حکم که اون خط اخرم ىجا فرضه ىجا حکم دقىقا معادلن

Dadgarnia · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

AHZolfaghari گفت

اول طرف چپ قضيه رو ثابت مي كنيم. با نوشتن فرمول ميانه در مثلث هاي

$IBC$

و

$TBC$

داريم:

$IM^2=\frac{1}{2}IC^2+\frac{1}{2}IB^2-\frac{1}{4}BC^2,MT^2=BT^2-\frac{1}{4}BC^2$

پس براي برقراري حكم بايد داشته باشيم:

$IC^2+IB^2=2BT^2$

با نوشتن قضيه ي سينوس ها در مثلث هاي

$BIT$

و

$CIT$

داريم:

$\frac{IC}{\sin \measuredangle B}=\frac{IT}{\cos \frac{1}{2}\measuredangle B},\frac{IB}{\sin \measuredangle C}=\frac{IT}{\cos \frac{1}{2}\measuredangle C}\Rightarrow IC=2IT.\sin \frac{1}{2}\measuredangle B, IB=2IT.\sin \frac{1}{2}\measuredangle C$

و با توجه به فرض سوال داريم:

$2\sin^2 \frac{1}{2}\measuredangle B+2\sin^2 \frac{1}{2}\measuredangle C=1\Rightarrow IC^2+IB^2=2IT^2(2\sin^2 \frac{1}{2}\measuredangle B+2\sin^2 \frac{1}{2}\measuredangle C)=2IT^2=2BT^2\Rightarrow IT=BT$

كه رابطه ي آخر صحيح است. با بازگشت از روي همين راه حل حكم ثابت مي شود. طرف دوم نيز به طريقي مشابه قابل اثبات است.

darya.f · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

AHZolfaghari گفت

ببخشىد الان 2نفر حل کردىم دىگه ,نمىخواىد بگىد سوال برا کجا بوده؟!

AHZolfaghari · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

این سوال رو من خودم اینطوری حل کردم.

$cos \hat{A}+cos \hat{B}+cos \hat{C}=1+\frac{r}{R}\Rightarrow r=Rcos \hat{A}\Rightarrow OM = r$

پس اگه پای عمود

$I$

بر

$BC$

رو بگیریم

$D$

اونوقت می فهمیم که

$IDMO$

مستطیل هست و چون قطر ها برابرند پس

$IM =OD$

$ID^2 + DM^2=r^2 + OI^2 = r^2 + R^2 - 2rR = IM^2\Rightarrow IM = R-r$

$OT = OM + MT \Rightarrow R = MT + r \Rightarrow MT = R-r$

$IM = MT$

طرف دیگرش هم با محاسبات حل کردم ( سینوس و کسینوس ) در واقع

$IM$

و

$MT$

رو دو مثلث

$MCT$

و

$MIT$

حساب کردم و از این که

$IT = TC$

استفاده

کردم راه حل هر چقدر محاسبات توش کمتر باشه قشنگ تره !!!

2
تو مثلث ABC میانه AM رو رسم کردیم و از C به وسل میانه رسم کردیم که میانه و ضلع AB رو به ترتیب در X , Y قطع کرده است.
نسبت مساحت AXY به مساحت کل رو بدست بیارید (البته زیاد سخت نیست )

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

darya.f گفت

از مجموعه سوالات آقای پروردی برداشتم الان پیگیری میکنم ببین سوال کشور خاصی بوده یا نه

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

خیلی جالبه من خودم نمیدونستم اما این سوال 1 سوال مرحله سوم ایران سال 2006 بوده !! بهش نمی خورد

amin · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

ahzolfaghari گفت

اوه اوه عجب سوتی خفن الخلقه ای دادم!!:4:
من مسئله رو درشرایطی حل کردم که i مرکز دایره ی محیطیه!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

AHZolfaghari گفت

جواب 1/8 هست؟؟؟؟
اگه درسته بگید تا راه حلو بذارم
(فک کنم اینطوری کمتر سوتی بدم!!:4

AHZolfaghari · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

amin گفت

نه متاسفانه نادرست هستش !!

amin · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

AHZolfaghari گفت

میشه یه اشاره به جواب بکنید؟؟؟؟

AHZolfaghari · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن هندسه

جواب رو میذارم پایین . سفید تایپ کردم تا کسانی که میخوان بیشتر فکر کنند فکر کنند

یک دوازدهم

math1998 · 1393/6/8

پاسخ : ماراتن هندسه

AHZolfaghari گفت

از X به M وصل میکنیم.

$S_{AXY}=S_{XYM}=S_{1},S_{ACY}=S_{CYM}=S_{2}$

$S_{XMB}=S_{XYM}+S_{XYC}=S_{1}+S_{2}$

از طرفی AM میانه است

پس :

$2S_{2}=3S_{1}+S_{2}\Rightarrow S_{2}=3S_{1}$

$\sum S=3S_{2}+3S_{1}=12S_{1}\Rightarrow \frac{S_{AXY}}{S_{ABC}}=12$

3
فرض کنید

$ABC$

یک مثلث حاده الزاویه که

$BC> CA$

CA"> .

$O$

را مرکز دایره محیطی بگیرید . فرض کنید

$H$

پای عمود ان و

$F$

پای ارتفاع

$CH$

باشد . عمود بر

$OF$

در

$F$

ضلع

$AC$

را در

$P$

قطع میکند ثابت کنید

$\angle FHP=\angle BAC$

AHZolfaghari · 1393/6/9

پاسخ : ماراتن هندسه

math1998 گفت

دایره محیطی مثلث رو میکشیم ارتفاع تو

$H'$

دایره رو قطع می کنه فرض کنید عمو خارج شده از F هم تو

$S$

،

$BH'$

رو قطع میکنه وتری که شامل f , h , S هست نقطه ی وسطش مشخصا F هستش پس وتر های

$AB , CH'$

از وسط این وتر می گذرند پس طبق قضیه پروانه

$FP = FS$

از طرفی داریم

$H'F = FH$

پس

$\triangle BH'F \cong\triangle FPH$

پس

$\widehat{FHP}=\widehat{ FHB}=\hat{A}$

4
نقاط P,Q روی اضلاع مثلث حاده زاویه ABC به گونه ای قرار گرفته اند که

$\widehat{PAB}=\widehat{BCA}$

و

$\widehat{CAQ}=\widehat{ABC}$

.
AP را به اندازه خودش از طرف P ادامه می دهیم تا به M برسیم . همین کار را برای AQ می کنیم تا به N برسیم . اثبات کنید BM , CN یک دیگر را روی دایره محیطی قطع می کنند .

Dadgarnia · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن هندسه

با توجه به فروض سوال داريم:

$\left.\begin{matrix} \measuredangle APB=\measuredangle BAC=\measuredangle AQC\Rightarrow \measuredangle NQC=\measuredangle MPB & \\ \frac{AP}{QC}=\frac{PB}{AQ}\Rightarrow \frac{PM}{QC}=\frac{PB}{QN} & \end{matrix}\right\} \Rightarrow \bigtriangleup BPM \sim \bigtriangleup CQN$

اگر نقطه ي تقاطع CN و BM را X بناميم داريم:

$\measuredangle CNQ=\measuredangle XBC\Rightarrow \pi -\measuredangle BAC=\measuredangle CQN=\measuredangle BXC$

و حكم ثابت مي شود.

AHZolfaghari · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن هندسه

بله درسته . سوال 4 ، سوال یک روز دوم المپیاد جهانی 2014 بود که البته آسون بود !

5
نقاط o ,h به ترتیب مراکز ارتفاعی و دایره محیطی مثلث abc هستند . و m ,n به ترتیب اوساط bh , ch هستند . و b'b قطر دایره است اگر honm محاطی باشد اثبات کنید b'n نصف ac است.

Dadgarnia · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن هندسه

AHZolfaghari گفت

مي تونيد يه شكل از سوال بكشيد؟ اين يعني چي كه b'b قطر دايره است اگر honm محاطي باشد.

AHZolfaghari · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن هندسه

Dadgarnia گفت

این ، دو تا جمله مستقل هستند .

$B'$

روبرو قطری

$B$

در دایره محیطی است . میدانیم

$HONM$

محاطی است . حالا حکم رو اثبات کنید . شکلش زیاد بد در نمیاد . لازمه ؟

Dadgarnia · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن هندسه

AHZolfaghari گفت

نه فقط همونو متوجه نميشدم.

ماراتن هندسه

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member