سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite · 1393/9/4

سلام هر کی بتونه به همش جواب بده :113:
1-اگر

$x^{2}+x+1=0$

حاصل

$5x^{234}-x^{99}=?$

2-ثابت کنید

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc$

3-

$70^{2}-69^{2}+68^{2}-67^{2}+66^{2}+...+10^{2}-9^{2} = ?$

$70^{2}-69^{2}+68^{2}-67^{2}+66^{2}+...+10^{2}-9^{2}= %u061F$

4-معادله را حل کنید:

$(2x-6)^{3}+(3x-6)^{3}-(5x-12)^{3}=0$

5-حاصل عبارت به ازای

$(1+x)(1+x^{2})(1+x^{3})...(1+x^{2^{9}}) = ?$

x=2
6-ثابت کنید حاصل ضرب چهار عدد طبیعی متوالی به اضافه 1 مربع کامل است.
7-با شرط

$2(a+b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+3$

حاصل

$a^{10}+b^{10}+c^{10}=?$

Dadgarnia · 1393/9/5

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite گفت

1- x ريشه ي سوم واحده پس داريم:

$x^3=1\Rightarrow 5x^{234}-x^{99}=4$

2- به راحتي ثابت ميشه و فكر نكنم نوشتن بخواد.
3- با استفاده از اتحاد مزدوج داريم:

$\sum_{i=9}^{69}((i+1)^2-i^2)=\sum_{i=9}^{69}(2i+1)=4819$

4- با استفاده از اتحاد اويلر داريم:

$-3(2x-6)(3x-6)(5x-12)=0$

پس x مي تونه 2 يا 3 يا

$\frac{12}{5}$

باشه كه به راحتي ميشه چك كرد.
5- مطمئنيد صورت سوال درسته؟ فكر كنم درستش اينجوريه:

$A=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\cdots (x^{2^9}+1)\Rightarrow (x-1)A=x^{2^{10}}-1$

پس جوابش ميشه

$2^{2^{10}}-1$

.
6-

$a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a^4+6a^3+11a^2+6a+1=(a^2+3a+1)^2$

7- داريم:

$\frac{1}{2}((a+b+c)^2-2(a+b+c)+3)=ab+bc+ca$

با استفاده از نامساوي

$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2=2(a+b+c)-3$

داريم:

$((a+b+c)-3)^2=(a+b+c)^2-6(a+b+c)+9\leq 0$

پس

$a+b+c=3$

و همچنين بدست مياد:

$a^2+b^2+c^2=3=ab+bc+ca\Rightarrow a=b=c=1$

پس

$a^{10}+b^{10}+c^{10}=3$

هست.

_Mobin_ · 1393/9/5

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite گفت

جناب Dadgarnia همه را نوشتن فقط برای سوال 7 فکر کنم این جوری راحت تر باشه:

$a^2+b^2+c^2+3=2(a+b+c)\Rightarrow a^2-2a+b^2-2b+c^2-2c+1+1+1=0$

$\Rightarrow (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0\Rightarrow a=b=c=1\Rightarrow a^{10}+b^{10}+c^{10}=3$

yosemite · 1393/9/5

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

به اینا هم فکر کنید:
1-اگر

$x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)=6\sqrt{abc}$

ثابت کنید:

$xyz=1$

2-اگر

$2x^{2}+3xy+y^{2}=0$

حاصل

$\frac{x}{y}$

چنداست؟

3-با توجه به عبارت زیر اگر a+b+c=12باشد بیشترین مقدار ab+bc+ca چه قدر است؟

$(a+b+c)^{2}=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \right ]+3(ab+bc+ca)$

4-اگر

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

و

$a+b+c=1$

و

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

ثابت کنید:xy+xz+yz=0

Dadgarnia · 1393/9/6

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite گفت

1- a,b,c رو كه اصلا تعريف نكردين! اگه a,b,c همون x,y,z باشن هم نميشه چون ممكنه هر سه تاشون صفر باشن.
2- داريم:

$(x+y)(2x+y)=0$

پس دو حالت وجود داره كه در حالت اول

$\frac{x}{y}=-1$

و در حالت دوم

$\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}$

ميشه.
3- با توجه به اون رابطه بديهيه كه حداكثر 48 ميشه.
4- داريم:

$b=\frac{y}{x}a,c=\frac{z}{x}a\Rightarrow x^2=a^2(x+y+z)^2=a^2(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow xy+yz+zx=0$

yosemite · 1393/9/6

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

ببخشید حافظه است دیگه..
x,y,z حقیقی و نامساوی صفر اند.

Dadgarnia · 1393/9/6

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite گفت

احتمالا شرط مثبت بودن x,y,z هم وجود داره چون براي مثال اگه قرار بديم

$(x,y,z)=(652+\sqrt{310},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3})$

حكم سوال نقض ميشه. با شرط مثبت بودن متغير ها با توجه به نامساوي حسابي هندسي داريم:

$x+y+z+xy+yz+zx\geq 6\sqrt{xyz}$

چون حالت تساوي اتفاق افتاده پس همه ي متغير ها با هم برابر هستند و به راحتي داريم:

$x=y=z=1\Rightarrow xyz=1$

_Mobin_ · 1393/9/6

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

Dadgarnia گفت

تا اون جایی که یادمه این سوال از مبتکران سال اوله و توی صورت سوال قید شده که x,y,z اعداد حقیقی مثبت هستند .

yosemite · 1393/9/22

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

جواب چند سوال زیر رو پیدا کردم ولی معلم میگه اشتباهه.لطفا شا حل کنید.
1-ثابت کنید حاصل عبارت زیر هیچ گاه منفی نیست .

$2x^{2}+2y^{2}+z^{2}2(xy+xz+yz)+2(x-y)+3$

2-اگر a=x-3m و b = x-mو c=x+m و d=x+3m باشد ثابت کنید است عبارت مربع کامل است.

$abcd+(b-c)^{2}$

3- اگر a+b+c=0 ثابت کنید.

$2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

راه حل سوال

$x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)=6\sqrt{abc}$

معلم گفت یا باید راه حلتون رو اثبات کنید یا به صورت مجموع سه مربع کامل متحد با صفر تبدیل کنید..خودمم آخر حرفشو نگرفتم:225:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

$2x^{2}+2y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)+2(x-y)+3$

اصلاح کردم . درستش این طوریه

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

یکی نیست اینارو حل کنه.معلم منو به سیخ میکشه اگه جواب ندم.:63:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

:39: از ریاضیدان ها کسی نیست!!!

sepidfekr · 1393/9/22

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite گفت

جواب چند سوال زیر رو پیدا کردم ولی معلم میگه اشتباهه.لطفا شا حل کنید.
1-ثابت کنید حاصل عبارت زیر هیچ گاه منفی نیست .

$2x^{2}+2y^{2}+z^{2}2(xy+xz+yz)+2(x-y)+3$

2-اگر a=x-3m و b = x-mو c=x+m و d=x+3m باشد ثابت کنید است عبارت مربع کامل است.

$abcd+(b-c)^{2}$

3- اگر a+b+c=0 ثابت کنید.

$2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

راه حل سوال

$x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)=6\sqrt{abc}$

معلم گفت یا باید راه حلتون رو اثبات کنید یا به صورت مجموع سه مربع کامل متحد با صفر تبدیل کنید..خودمم آخر حرفشو نگرفتم:225:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

$2x^{2}+2y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)+2(x-y)+3$

اصلاح کردم . درستش این طوریه

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

یکی نیست اینارو حل کنه.معلم منو به سیخ میکشه اگه جواب ندم.:63:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

:39: از ریاضیدان ها کسی نیست!!!

1- ثابت کن

$2x^{2}+2y^{2}+z^{2}+3\geq 2(xy+xz+yz)+2(x-y)$

2- جای گذاری بعد هم تجزیه
3- از این استفاده کن

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ca)$

و

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{2}b^{2})-2(b^{2}c^{2})-2(a^{2}c^{2})$

yosemite · 1393/9/22

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

در سوال 2 من نحوه تجزیه رو می خواستم:39:

Dadgarnia · 1393/9/22

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite گفت

يه راه ديگه هم براش پيدا كردم. تساوي رو ميشه به اين شكل نوشت:

$(\sqrt{x}-\sqrt{yz})^2+(\sqrt{y}-\sqrt{zx})^2+(\sqrt{z}-\sqrt{xy})^2=0$

حالا ديگه راحت ميشه حكمو نتيجه گرفت.

yosemite · 1393/9/22

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

هیچ راهی برای حل مسئله1با اون راه پیدا نکردم

Dadgarnia · 1393/9/22

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite گفت

تساوي رو ميشه اينجوري نوشت:

$(x+y+z)^2+(x+1)^2+(y-1)^2+1\geq 1$

سوال دو رو مطمئنيد درست نوشتين؟

sepidfekr · 1393/9/22

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

سوال دو غلطه!!!
به جای

$(b-c)^{2}$

یا باید

$(b^{2}-c^{2})^{2}$

باشه یا باید

$(b-c)^{4}$

باشه

وفا صفا · 1393/9/26

پاسخ : سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

ممنونببببببببلبلللل

سوال های نسبتا سخت اتحاد ها

yosemite

New Member

Dadgarnia

New Member

_Mobin_

New Member

yosemite

New Member

Dadgarnia

New Member

yosemite

New Member

Dadgarnia

New Member

_Mobin_

New Member

yosemite

New Member

sepidfekr

New Member

yosemite

New Member

Dadgarnia

New Member

yosemite

New Member

Dadgarnia

New Member

sepidfekr

New Member

وفا صفا

New Member