ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

همون نامساوی آخریه.سوال بعد رو اگه میشه خودتون لطف کنید.

AHZolfaghari · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

خب سوال بعد :
اعداد طبیعی a,b طوری هستند که 16a- 15b , 15a + 16b هر دو مربع کامل اند . کمترین مقداری را که مقدار کوچک تر بین این دو مربع کامل می توانند به خود بگیرد را بدست آورید .

math1998 · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic :4:

AHZolfaghari · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

کاشکی لینک نمیدادی !!!!!!!! تا بچه ها فکر کنن !!!! اما خود کرده را تدبیر نیست !! سوال بعد رو بذار

math1998 · 1393/8/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

تمام

$n$

هایی را بیابید که

$2^n+n\mid 8^n+n$

Dadgarnia · 1393/8/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

فرض مي كنيم

$n=2^\alpha m$

كه در اون

$\alpha$

عددي صحيح و نامنفي و

$\gcd(m,2)=1$

است. داريم:

$2^{2^\alpha m}+2^\alpha m|2^\alpha m(4^{2^\alpha m}-1)\Rightarrow 2^{2^\alpha m-\alpha}+m|4^{2^\alpha m}-1$

$\Rightarrow 2^{2^\alpha m-\alpha}+m|2^{2^\alpha m+\alpha}m+1\Rightarrow 2^{2^\alpha m-\alpha}+m|2^{2\alpha}m^2-1$

حالا اگر

$\alpha$

برابر با صفر باشد به راحتي داريم m=1. حالا فرض مي كنيم

$\alpha$

بزرگتر از صفر باشد و

$2^{2^\alpha m-\alpha}+m> 2^{2\alpha}m^2-1$

پس بدست مي آيد:

$2^{2^\alpha m-\alpha}+m+1\geq 2^{2\alpha+m}> 2^{2\alpha}m^2$

براي اثبات رابطه ي آخر هم كافي است داشته باشيم:

$2^\alpha m-\alpha\geq 2\alpha+m$

كه به راحتي مي توانيم ببينيم براي

$\alpha\geq 4$

صحيح است. با بررسي حالات باقيمانده به جواب هاي ١ و ٢ و ٤ مي رسيم.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

$p$

يك چند جمله اي با ضرايب صحيح است و براي هر

$n$

طبيعي

$p(n)> n$

است. در دنباله ي

$\left \{ x_i \right \}_{i=1}^\infty$

داريم

$x_1=1,x_{i+1}=p(x_i)$

و براي هر

$N$

طبيعي يكي از

$x_i$

ها بر

$N$

بخشپذيرند. تمام چند جمله اي هاي

$p$

را بيابيد.

Dadgarnia · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

برای سوال قبل ثابت کنید تنها چند جمله ای

$p(x)=x+1$

هست.
سوال بعد:
تمام اعداد صحیح و نامنفی

$x,y$

و عدد اول

$p$

را بیابید به طوریکه:

$x^3+y^3-3xy=p-1$

فقط دوستانی که سوال میذارن خیلی سطح سوال رو بالا نبرن و سعی کنین کم کم سوالا رو سخت کنین تا ماراتن دوباره نخوابه!

m-saghaei · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

یک رو میبریم اونور.بعد تجزیه اش میکنیم میشه:

$(x+y+1)(x^2+y^2+1-x-y-xy)=p$

حالا دو حالت داریم:
1)

$x+y+1=1 , x^2+y^2+1-x-y-xy=p$

یعنی

$x=-y$

که اگه تو پرانتز دومی بزاریم میشه

$x^2=\frac{p-1}{3}$

که اگه x مثبت باشه y منفی میشه ولی سوال اعداد نا منفی رو میخواد پس تو این حالت جواب نداره.

2)

$x+y+1=p , x^2+y^2+1-x-y-xy=1$

پس داریم:

$x^2-x(y+1)+y^2-y=0$

که اگه دلتای این رو بنویسیم باید داشته باشیم

$(y+1)^2-4y^2+4y\geq 0\rightarrow -3y^2+6y+1\geq 0$

که اینم فقط برای

$y=0$

جواب داره چون اون نامساویه برای

$y\geq 3$

جواب نداره برای

$y=1 , y=2$

هم دستی چک میکنیم که جواب نداره.

که اگه

$y=0$

رو بزاریم در میاد

$x=1 , p=2$

پس تنها جواب اینه:

$(p,x,y)=(2,1,0)$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia گفت

یک رو میبریم اونور.بعد تجزیه اش میکنیم میشه:

$(x+y+1)(x^2+y^2+1-x-y-xy)=p$

حالا دو حالت داریم:
1)

$x+y+1=1 , x^2+y^2+1-x-y-xy=p$

یعنی

$x=-y$

که اگه تو پرانتز دومی بزاریم میشه

$x^2=\frac{p-1}{3}$

که اگه x مثبت باشه y منفی میشه ولی سوال اعداد نا منفی رو میخواد پس تو این حالت جواب نداره.

2)

$x+y+1=p , x^2+y^2+1-x-y-xy=1$

پس داریم:

$x^2-x(y+1)+y^2-y=0$

که اگه دلتای این رو بنویسیم باید داشته باشیم

$(y+1)^2-4y^2+4y\geq 0\rightarrow -3y^2+6y+1\geq 0$

که اینم فقط برای

$y=0$

جواب داره چون اون نامساویه برای

$y\geq 3$

جواب نداره برای

$y=1 , y=2$

هم دستی چک میکنیم که جواب نداره.

که اگه

$y=0$

رو بزاریم در میاد

$x=1 , p=2$

پس تنها جواب اینه:

$(p,x,y)=(2,1,0)$

math1998 · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

یک رو میبریم اونور.بعد تجزیه اش میکنیم میشه:

$(x+y+1)(x^2+y^2+1-x-y-xy)=p$

حالا دو حالت داریم:
1)

$x+y+1=1 , x^2+y^2+1-x-y-xy=p$

یعنی

$x=-y$

که اگه تو پرانتز دومی بزاریم میشه

$x^2=\frac{p-1}{3}$

که اگه x مثبت باشه y منفی میشه ولی سوال اعداد نا منفی رو میخواد پس تو این حالت جواب نداره.

2)

$x+y+1=p , x^2+y^2+1-x-y-xy=1$

پس داریم:

$x^2-x(y+1)+y^2-y=0$

که اگه دلتای این رو بنویسیم باید داشته باشیم

$(y+1)^2-4y^2+4y\geq 0\rightarrow -3y^2+6y+1\geq 0$

که اینم فقط برای

$y=0$

جواب داره چون اون نامساویه برای

$y\geq 3$

جواب نداره برای

$y=1 , y=2$

هم دستی چک میکنیم که جواب نداره.

که اگه

$y=0$

رو بزاریم در میاد

$x=1 , p=2$

پس تنها جواب اینه:

$(p,x,y)=(2,1,0)$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

یک رو میبریم اونور.بعد تجزیه اش میکنیم میشه:

$(x+y+1)(x^2+y^2+1-x-y-xy)=p$

حالا دو حالت داریم:
1)

$x+y+1=1 , x^2+y^2+1-x-y-xy=p$

یعنی

$x=-y$

که اگه تو پرانتز دومی بزاریم میشه

$x^2=\frac{p-1}{3}$

که اگه x مثبت باشه y منفی میشه ولی سوال اعداد نا منفی رو میخواد پس تو این حالت جواب نداره.

2)

$x+y+1=p , x^2+y^2+1-x-y-xy=1$

پس داریم:

$x^2-x(y+1)+y^2-y=0$

که اگه دلتای این رو بنویسیم باید داشته باشیم

$(y+1)^2-4y^2+4y\geq 0\rightarrow -3y^2+6y+1\geq 0$

که اینم فقط برای

$y=0$

جواب داره چون اون نامساویه برای

$y\geq 3$

جواب نداره برای

$y=1 , y=2$

هم دستی چک میکنیم که جواب نداره.

که اگه

$y=0$

رو بزاریم در میاد

$x=1 , p=2$

پس تنها جواب اینه:

$(p,x,y)=(2,1,0)$

راه حل درسته

$(p,x,y)=(2,0,1)$

هم جوابه اگه سر امتحان ننویسید قطعا یه نمره کم میکنن فقط میخواستم بگم سر امتحان حواستون باشه!!!

m-saghaei · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

بله ممنون
حواسم نبود!!!

Dadgarnia · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

یک رو میبریم اونور.بعد تجزیه اش میکنیم میشه:

$(x+y+1)(x^2+y^2+1-x-y-xy)=p$

حالا دو حالت داریم:
1)

$x+y+1=1 , x^2+y^2+1-x-y-xy=p$

یعنی

$x=-y$

که اگه تو پرانتز دومی بزاریم میشه

$x^2=\frac{p-1}{3}$

که اگه x مثبت باشه y منفی میشه ولی سوال اعداد نا منفی رو میخواد پس تو این حالت جواب نداره.

2)

$x+y+1=p , x^2+y^2+1-x-y-xy=1$

پس داریم:

$x^2-x(y+1)+y^2-y=0$

که اگه دلتای این رو بنویسیم باید داشته باشیم

$(y+1)^2-4y^2+4y\geq 0\rightarrow -3y^2+6y+1\geq 0$

که اینم فقط برای

$y=0$

جواب داره چون اون نامساویه برای

$y\geq 3$

جواب نداره برای

$y=1 , y=2$

هم دستی چک میکنیم که جواب نداره.

که اگه

$y=0$

رو بزاریم در میاد

$x=1 , p=2$

پس تنها جواب اینه:

$(p,x,y)=(2,1,0)$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

یک رو میبریم اونور.بعد تجزیه اش میکنیم میشه:

$(x+y+1)(x^2+y^2+1-x-y-xy)=p$

حالا دو حالت داریم:
1)

$x+y+1=1 , x^2+y^2+1-x-y-xy=p$

یعنی

$x=-y$

که اگه تو پرانتز دومی بزاریم میشه

$x^2=\frac{p-1}{3}$

که اگه x مثبت باشه y منفی میشه ولی سوال اعداد نا منفی رو میخواد پس تو این حالت جواب نداره.

2)

$x+y+1=p , x^2+y^2+1-x-y-xy=1$

پس داریم:

$x^2-x(y+1)+y^2-y=0$

که اگه دلتای این رو بنویسیم باید داشته باشیم

$(y+1)^2-4y^2+4y\geq 0\rightarrow -3y^2+6y+1\geq 0$

که اینم فقط برای

$y=0$

جواب داره چون اون نامساویه برای

$y\geq 3$

جواب نداره برای

$y=1 , y=2$

هم دستی چک میکنیم که جواب نداره.

که اگه

$y=0$

رو بزاریم در میاد

$x=1 , p=2$

پس تنها جواب اینه:

$(p,x,y)=(2,1,0)$

البته فقط يه اشتباه كوچيك كردين

$(5,2,2)$

هم جوابه.
سوال بعد رو هم بذارين.

m-saghaei · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

سوال بعد:

$n$

عددی صحیح و نامنفی است.تمام اعداد صحیح و نامنفی

$a,b,c, d$

را بیابید که داشته باشیم:

$a^2+b^2+c^2+d^2=7.4^n$

Dadgarnia · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

اول فرض مي كنيم n=0 باشه در اين حالت جواب ها

$(2,1,1,1)$

و جايگشت هاي اوناست. حالا اگه

$n>0$

باشه داريم:

$a^2+b^2+c^2+d^2\equiv 0 \pmod 4$

پس يا همه ي اعداد فرد هستند يا همه ي اعداد زوج. در حالت دوم در اينجا هم دو حالت وجود داره كه در حالت اول جواب

$(2^{n+1},2^n,2^n,2^n)$

بدست مياد و در حالت دوم داريم

$a=2^{\alpha}m_1,b=2^{\alpha}m_2,c=2^{\alpha}m_3,d=2^{\alpha}m_4$

(با توجه به چيز هايي كه بدست آورديم واضحه كه توان ها بايد برابر باشند) و

$m_i$

ها اعداد فردند. اگه اين رابطه رو توي صورت سوال جاگذاري كنيم بدست مياد:

$m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2=7\cdot 4^{n-2\alpha}$

پس كافيه براي اعداد فرد بررسي كنيم. در اين حالت داريم:

$7\cdot 4^n\equiv a^2+b^2+c^2+d^2\equiv 4\pmod 8\Rightarrow -4^{n-1}\equiv 1\pmod 2\Rightarrow n=1$

پس در كل جواب هاي

$(2^{n+1},2^n,2^n,2^n),(3\cdot 2^{n-1},3\cdot 2^{n-1},3\cdot 2^{n-1},2^{n-1}),(5\cdot 2^{n-1},2^{n-1},2^{n-1},2^{n-1})$

و جايگشت هاشون وجود داره.

math1998 · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

مانده های درجه دو به پیمانه ی 8 اعداد 0و1و4 هستند اگه

$n\geq 2$

باشه میشه چک کرد که یه نزول نامتناهی تشکیل میشه که اعداد

$a,b,c,d$

بی نهایت بار بر 2 بخش پذیرن پس یا جواب نداره یه بی نهایت جواب داره که با حل معادلات

$,(1,3,3,3)$

$a^2+b^2+c^2+d^2=7.4=28\Rightarrow (1,1,1,5)$

$a^2+b^2+c^2+d^2=7.4^0=1\Rightarrow (0,1,1,1)$

البته با احتساب جایگشتاشون!!!

حالا دیگه بقیه جوابا با این جواب اولیه بدست میان!!!

$(a_{k+1},b_{k+1},c_{k+1},d_{k+1},n_{k+1})=(2a_{k},2b_{k},2c_{k},2d_{k},n_{k}+2)$

m-saghaei · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

اول فرض مي كنيم n=0 باشه در اين حالت جواب ها

$(2,1,1,1)$

و جايگشت هاي اوناست. حالا اگه

$n>0$

باشه داريم:

$a^2+b^2+c^2+d^2\equiv 0 \pmod 4$

پس يا همه ي اعداد فرد هستند يا همه ي اعداد زوج. در حالت دوم در اينجا هم دو حالت وجود داره كه در حالت اول جواب

$(2\cdot4^n,4^n,4^n,4^n)$

بدست مياد و در حالت دوم داريم

$a=2^{\alpha}m_1,b=2^{\alpha}m_2,c=2^{\alpha}m_3,d=2^{\alpha}m_4$

(با توجه به چيز هايي كه بدست آورديم واضحه كه توان ها بايد برابر باشند) و

$m_i$

ها اعداد فردند. اگه اين رابطه رو توي صورت سوال جاگذاري كنيم بدست مياد:

$m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2=7\cdot 4^{n-\alpha}$

پس كافيه براي اعداد فرد بررسي كنيم. در اين حالت داريم:

$7\cdot 4^n\equiv a^2+b^2+c^2+d^2\equiv 4\pmod 8\Rightarrow -4^{n-1}\equiv 1\pmod 2\Rightarrow n=1$

پس در كل جواب هاي

$(2\cdot 4^n,4^n,4^n,4^n),(5\cdot 4^{n-1},4^{n-1},4^{n-1},4^{n-1}),(3\cdot 4^{n-1},3\cdot 4^{n-1},3\cdot 4^{n-1},4^{n-1})$

و جايگشت هاشون وجود داره.

اینجوری که شما میگید اگه n=1 باشه باید جواب (8و8و8و4) هم داشته باشیم که اینطور نیست.

Dadgarnia · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

البته راه حل شما كامل نيست.
سوال بعد:
تمام اعداد زوج و طبيعي

$n$

را بيابيد به طوريكه

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d_i}=\frac{1620}{1003}$

كه

$d_i$

ها مقسوم عليه هاي متمايز

$n$

هستند.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

m-saghaei گفت

بله حق با شماست اولين جواب بايد اينجوري باشه

$(4^{n+1},4^n,4^n,4^n)$

m-saghaei · 1393/8/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

بازم نمیشه که.اگه یک بزاریم نمیشه.

aras2213 · 1393/9/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

1003 , 1620 نسبت به هم اولند.

$\sum d_i=\frac{1620\times n}{1003}\overset{n=2006t}{\rightarrow}\sum d_i=3240t$

.حالا جمع مقسوم علیه های 2006 میشه 3240.پس t=1 و n=2006.:7:

math1998 · 1393/9/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

ممکنه بیشتر توضیح بدید؟؟؟

aras2213 · 1393/9/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

بلی!
داریم:

$\sum\frac{n}{d_i}=\sum d_i$

.پس اگه طرفین رو در n ضرب کنیم به

$\sum d_i=\frac{1620\times n}{1003}\overset{n=2006t}{\rightarrow}\sum d_i=3240t$

میرسیم.بعد چون سمت چپ طبیعیه سمت راست هم باید طبیعی باشه پس

$1003\mid n$

. حالا چون n زوجه

$n=2006t$

و ... .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:ثابت کنید برای نامتناهی n،

$a^n-1$

حداقل یک عامل اول بزرگتر از

$nlog_{a}^{n}$

دارد.(a طبیعی و از 1 بزرگتر است.)

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

آقا من اول که این سوال رو حل کردم فکر کردم آسونه بعد یکم فکر کردم دیدم جوب زدم و یکم سخته.اگه راه آسونی پیدا کردید بگید.این یه سوال دیگه:
ثابت کنید معادله

$x^4=y^2+z^2+4$

در اعداد صحیح جواب ندارد.

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member