ماراتن هندسه version 2

Dadgarnia · 1393/11/24

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

سوال بعد:
فرض كنيد

$AA_1,BB_1$

دو ارتفاع در مثلث حاده

$ABC$

از نقطه ي

$A_1$

دو عمود بر خطوط

$AB,AC$

و از نقطه ي

$B_1$

دو عمود بر خطوط

$AB,BC$

وارد مي كنيم ثابت كنيد پاي اين چهار عمود تشكيل يك ذوزنقه متساوي الساقين مي دهد.

AHZolfaghari · 1393/11/24

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

Dadgarnia گفت

پای عمود A_1 بر AC و AB رو به ترتیب S و Q می نامیم . و پای عمود B_1 بر AB , BC رو به ترتیب P و R می نامیم .
چهارضلعی

$ABA_1B_1$

محاطی است پس

$\angle AA_1C= \angle A$

چهارضلعی

$B_1A_1PS$

محاطی است پس

$\angle CSP = \angle A$

پس SP موازی است با RQ . حالا فقط باید ثابت کنیم که RS = PQ.
حالا میایم RB_1 , A_1Q رو امتداد میدیم تا SP رو به ترتیب در N,M قطع کنند . (امتدادش منظورم بود )
حالا میدونیم که RQMN مستطیل است . حالا اگه ثابت کنیم که NS = MP است بنابر هم نهشتی دو مثلث RNS , PMQ نتیجه میشه که RS = PQ .

$A_1MP \sim A_1BQ \Rightarrow PM = \frac{A_1P}{A_1B}.BQ$

$NSB_1 \sim ARB_1 \Rightarrow NS = \frac{B_1S}{AB_1}.AR$

حکم :

$\frac{B_1S}{AB_1}.AR = \frac{A_1P}{A_1B}.BQ$

$cos B. A_1P = cos A . B_1S$

چهارضلعی

$B_1A_1PS$

محاطی است پس داریم :

$\frac{B_1S}{sin 90-B}=\frac{A_1P}{sin 90-A}$

که همان نتیجه ای بود که باید می گرفتیم پس حکم ثابت شد .
لطفا رفقا سوال بذارن . من سوال خوبی برای این تاپیک ندارم . [MENTION=18785]Dadgarnia[/MENTION] [MENTION=14921]aras2213[/MENTION]

aras2213 · 1393/11/24

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

سوال بعد:در مثلث حاده الزاویه

،

و

ارتفاع هستند.دو دایره از نقاط

,

میگذرند و بر

در

و

مماسند به طوری که

بین

و

قرار دارد.ثابت کنید

و

روی دایره محیطی

همدیگر را قطع میکنند.

TheOverlord · 1393/11/24

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

$BF.BA=BP^2=BQ^2=BH.BE=BD.BC$

که در آن

$D$

پای ارتفاع نظیر راس

$A$

و

$H$

مرکز ارتفاعی مثلث میباشد. حال اگر

$PE \cap FQ= T$

آنگاه حکم مساله معادل محاطی بودن

$EHFT$

است که معادل است با

$\hat{TFH}=\hat{TEH}$

اما

$BP^2=BH.BE \Rightarrow \hat{HET}=\hat{BEP}=\hat{BPH}$

پس کافیست بگوییم

$\hat{HFT}=\hat{BPH}$

یا

$\hat{HFQ}+\hat{QPH} =180^o$

اما این معادل محاطی بودن

$PQHF$

است که معادل است با این که:

$CP.CQ=CH.CF=CD.CB\Leftrightarrow (BC+BP)(BC-BP)=BC.CD\Leftrightarrow BC^2-BP^2=BC.CD \Leftrightarrow BC.BD=BP^2$

که رابطه آخر رابطه ای درست است. پس حکم مساله ثابت شد.

سوال بعد:

$I$

مرکز دایره محاطی مثلث

$ABC$

است.

$\Omega$

دایره محیطی این مثلث و

$D$

نقطه ای دلخواه روی ضلع

$BC$

است. دایره

$\omega$

بر

$\Omega,BC,AD$

در

$P,Q,K$

مماس است. ثابت کنید دایره محیطی مثلث

$PQI$

بر نیمساز این مثلث مماس است.

Dadgarnia · 1394/4/25

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

TheOverlord گفت

محل برخورد مماس مشترك دو دايره

$\omega,\Omega$

در نقطه

$P$

و

$BC$

را

$T$

و محل برخورد دوم

$PQ$

با

$\Omega$

رو

$M$

مي ناميم. داريم:

$\frac{\overset{\frown}{PM }}{2}=\angle TPQ=\angle TQP=\frac{\overset{\frown}{PB }+\overset{\frown}{MC}}{2}\Rightarrow \overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$

محل برخورد

$QK$

با نيمساز راس

$A$

را

$I'$

مي ناميم. حالا واضح است كه

$\angle PKQ=\angle PQB=\angle PAI'$

پس چهار ضلعي

$PAKI'$

محاطيه. حالا داريم:

$\angle QI'M=\angle QKD-\angle I'AK=\angle QPI'$

پس دو مثلث

$MPI',MI'Q$

متشابهن كه نتيجه ميده

$MI'^2=MQ\cdot MP$

به راحتي مي تونيم ثابت كنيم

$MB^2=MQ\cdot MP$

پس

$MB=MI'$

پس

$I=I'$

و از رابطه

$MI^2=MQ\cdot MP$

حكم نتيجه ميشه.

ماراتن هندسه version 2

Dadgarnia

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

aras2213

New Member

TheOverlord

New Member

Dadgarnia

New Member