ماراتن هندسه version 2

[majidgoodarzi]

میشه راهتون رو بگین؟

 

[shoki]

یک کمی یواش تر برو تا من هم بهت برسم

در مورد ارسال اولیت از این سه تا ارسال باید بگم که درسته و با زاویه بازی حله.
اما من نمی فهمم چه جوری اینو اثبات می کنه که :
نقطه ی P به گونه ای هست که
در هر دو مثلث نظیر هم هست ؟؟
در واقع چیزی که من تا حالا می بینم سه تا مثلث متشابه هست. میشه بیشتر توضیح بدی؟
در مورد دو تا ارسال بعدی اگه خدا بخواد فردا پس فردا نظر می دم ... فعلا

... خوابم میاد

 

[majidgoodarzi]

بله.فعلا دیده نمیشه ولی من سعی دارم با اون دو نتیجه و... ثابتش کنم.

 

[majidgoodarzi]

فکر کنم این راه برای قسمت دوم بی فایده است.

 

[shoki]

اولین نتیجه ی خوفتون رو با منلائوس اثبات کردم!
این تیکه که راحته:
مثلثی رسم کنید که ABC مثلث میانک اون باشه . ولی من این تیکه رو نمی فهمم:
رئوس متانظر این مثلث به قرینه ها رو وصل کنیم در نقطه بالایه همرس اند.

 

[majidgoodarzi]

یعنی مثلا اون راسی که در مثلث ساختته شده مقابل به A است را به قرینه ی رو به رو به A وصل کنیم (نسبت به ضلع)و... در نقطه ی نتیجه بالایی همرس اند.در سوال 1 این نقطه ناگله...

 

[seifi_seifi]

یه سوال دارم. الان سوال مورد بحث چیه؟
من هر چی گشتم پیدا نکردم.

 

[mahdisaj]

یه سوال دارم. الان سوال مورد بحث چیه؟
من هر چی گشتم پیدا نکردم.

این بحث 20 روزی میشه که توجهی بهش نیمشه فکرکنم شما هر سوالی بگذارید هم باعث رونق این بحث می شه هم مرتبط باشه

 

[seifi_seifi]

یه سوال دارم. الان سوال مورد بحث چیه؟
من هر چی گشتم پیدا نکردم.

این بحث 20 روزی میشه که توجهی بهش نیمشه فکرکنم شما هر سوالی بگذارید هم باعث رونق این بحث می شه هم مرتبط باشه

باشه من یه سوال میذارم.

این سوال رو خودم با ترکیب چند مساله ی خفن بدست آوردم و مرد میخوام تا بتونه حلش کنه.

راستش خودم هم کامل تمیتونم حلش کنم چون از ترکیب دوتا سوال خفن که یکیشو حل نکردم بدست آوردمش.

خیلی خوشحال میشم که ببینم کسی میتونه حلش کنه یا نه. اگه به نتیجه ی خوبی هم رسیدید بگید.

سوال رو تو پست بعدی میذارم.

 

[seifi_seifi]

در مثلث ABC مرکز دایره ی محاطی I و H مرکز ارتفاعی ABC میباشد.

ثابت کنید AIH=90 اگر و فقط اگر COS B + COS C = 1.

 

[shoki]

مسئله به این تبدیل میشه دیگه : AH.AT=AI.AD اگر و فقط اگر cos B+ cos C=1 . که در آن T و D نقاط برخورد ارتفاع و نیمساز با BC هست. حالا باقیش با خرکاریه دیگه

. بحث موجود اینه :
یه مثلث ABC داریم و یه نقطه ی P در همون صفحه. A رو به P وصل می کنیم تا دایره ی محیطی رو در D قطع کنه. به همین ترتیب E,F تعریف می شند (برای BP,CP ) . به مثلث DEF می گن : circumcevian triangle of P with respect to ABC . حالا نقاط D,E,F رو نسبت به اضلاع BC,CA,AB قرینه می کنیم تا نقاط 'D',E',F به دست بیاد. حالا ثابت کنید مثلث 'D'E'F با DEF متشابه هست و نقطه ی P در هر دو مثلث یک وضعیت را دارد. یعنی : D'E'P = DEP و D'F'P = DFP و ... .
خواهشا تو مثلینکس دنبال لینکش نگردین و سعی کنین که روش فکر کنین . من خودم فکر می کنید در عرض دو ثانیه حلش کردم ؟؟؟؟ نه بابا یه ماه شایدم بیشتر طول کشید ولی به راه حلی کاملا جدید و نسبتا کوتاه (حداقل توی مثلینکس ) رسیدم و ارزشش رو داشت ... هیچ اشکالی هم نداره تاپیک چند ده روز بخوابه

...

 

[seifi_seifi]

به به سوالت قشنگ بود shoki.

راه حل: ابتدا ثابت میکنیم P در هر دو مثلث وظعیت یکسانی دارد.برای ایت کار ثابت میکنیم که دو مثلث PBC و E'F'P متشابه است. برای این کار ثابت میکنیم دو مثلث PE'C با PF'B متشابه است. ابتدا به سادگی با زاویه بازی ثابت میشود که دو زاویه ی E'CP=F'BP و حال ثابت میکنیم PC/E'C=PB/F'B چون داریم F'B=FB و E'C=EC پس واضح است که PC/E'C=PB=F'B پس دو مثلث PE'C با PF'B متشابه است پس داریم دو زاویه ی E'PC و F'PB باهم برابرند پس دو زاویه ی BPC و F'PE' i با هم برابرند پس دو زاویه ی EPF=E'PF' i به همین ترتیب برای دیگر زاویه ها هم ثابت میشود پس P نسبت به دو مثلث EFD و 'E'F'D وظعیت یکسانی دارد. که با توجه به این به وضوح دو مثلث EFD و 'E'F'D با هم متشابه اند.

ببخشید مختصر توضیح دادم اگه جاییش نامفهومه بگید.

حالا اون سوالی رو که گفته بودم کامل حل کنید.

سوال قبلیم :

در مثلث ABC اگر I مرکز دایره محاطی H مرکز ارتفاعی باشد ثابت کنید : AIH=90 اگر و فقط اگر COS C + COS B = 1

 

[shoki]

عالی بود در اینجا چند ارسال مربوط به این موضوع رو می بینید : (سعی کنید تک تکشون رو بررسی کنید)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=101687
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=216118
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=303466
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=208564
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=114907
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=148959 (این یکی رو حتما بخونید و کف کنید!!!)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=46891

راه حل من هم برای این مسئله توی یکی از همین سایت ها هست.

 

[shoki]

این فایل رو هم حتما (اگه به هر نحوی می تونید!) بخونید و 100 بار کف کنید !!!!
http://pagesperso-orange.fr/jl.ayme/vol1.html
فایل L'orthocentre du triangle de Fuhrmann رو دانلود کنید .

 

[majidgoodarzi]

با توجه به این که به سوال اقای سیفی در جای دیگری پاسخ داده ام از shoki خواهش می کنم سوال بعد رو بذاره...

 

[shoki]

در مثلث

نقاط

و

مراکز دوایرمحاطی و محاطی خارجی نظیر راس A هستند.نقطه ی F محل برخورد AI_a با دایره ی محیطی ABC است.[SUB] [/SUB]نقطه ی

وسط

است و داریم

و نقطه ی S هم روی دایره ی (I_a) هست. نقطه ی K و L محل برخورد نیمساز زاویه ی خارجی BAC با دایره ی محیطی ABC و خط BC هست. نقطه ی D هم محل تماس (I) با BC هست. ثابت کنید که دوایر محیطی

و

و

یک دسته دوایر تشکیل می دهند.(دارای یک محور اصلی مشترک).

 

[majidgoodarzi]

فکر کنم بعضی جاهای سوال رو نمیتونم ببینم یعنی خالیه!
مثل دوایر محیطی و و یک دسته....

 

[shoki]

پس دوباره می نویسمش :

در مثلث

نقاط

مراکز دوایر محاطی خارجی نظیر راس A و محاطی داخلی مثلث هستند.نقطه ی F محل برخورد AI_a با دایره ی محیطی ABC است.[SUB] [/SUB]نقطه ی

وسط

است و داریم

و نقطه ی S هم روی دایره ی (I_a) هست. نقطه ی K و L محل برخورد نیمساز زاویه ی خارجی BAC با دایره ی محیطی ABC و خط BC هست. نقطه ی D هم محل تماس (I) با BC هست. ثابت کنید که دوایر محیطی

در دو نقطه هم دیگر را قطع می کنند.

 

[shoki]

راه حل این سوال رو می تونید اینجا ببینید:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=319871

 

[nima1376]

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

سوال:

1.فرض کنید axyzb یک پنج ضلعی محاط در یک دایره به قطر ab باشد . پای تصاویر y روی خطوط ax,bx,az,bz را به ترتیب p,q,r,s مینامیم ثابت کنید زاویه بین خطوط pq,rs نصف زاویه xoz است که o وسط ab است.

فک کنم سطح این سوال بابقیه سوالات این تاپیک کاملا متفاوته
شاید بهتر بود این رو داخل هندسه مقدماتی قرار میدادید چون فقط باید زاویه بازی کنید