پنج ضلعي منتظم

Dadgarnia · 1394/5/13

يه پنج ضلعي داريم كه همه ي زواياش با هم برابرن و طول همه ي ضلع هاش يه عدد گوياست. ثابت كنيد اين پنج ضلعي يه پنج ضلعي منتظمه.

حمید آنالیز · 1394/5/13

پاسخ : پنج ضلعي منتظم

یک ضلع پنج ضلعی را روی محور مختصات میگیریم و طبق بردار ها چون برایندشون صفر میشه تجزیشون میکنیم که اگه ضلع های مثلث a b c d eباشند بدست می آید اگه aروی محور مختصات باشه

$a+\sin(18)(e+b)-\sin(54)(c+d)=0\rightarrow \sin(18)=\frac{\sqrt{5}-1}{4},\sin\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

و داریم:

$a+(\frac{\sqrt{5}-1}{4})(e+b)-\frac{\sqrt{5}+1}{4}(c+d)=0$

و

$a-\frac{b+c+d+e}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4}(e+b-(c+d))=0$

پس با توجه به گویا بودن ضلع هاباید

$(e+b-(c+d))=0$

که بدست می دهد

$e+b=c+d$

و به طریقی مشابه با دوران دادن 5 ضلعی به دست میاد که همه ضلع ها برابرند!
Q.E.D
امیدوارم همشو درست نوشته باشم

Amitis :D · 1394/5/17

پاسخ : پنج ضلعي منتظم

Dadgarnia گفت

راه حل دوم که برای هر

$p$

ضلعی که

$p$

عددی اول است:
اگر هر ضلع را یک بردار در نظر بگیریم، مجموع این بردارها برابر صفر است. اکنون چون زوایای

$p$

ضلعی با هم برابرند، هر بردار را می توان به صورت دورانی از یکدیگر در نظر گرفت.

اکنون فرض کنید که طول اضلاع

$a_1,a_2,\dots,a_p$

باشد و

$\omega=cis(\frac{2\pi}{p})$

. تعبیر تساوی برداری بالا در اعداد مختلط می شود:

$a_1+a_2\omega+\dots+a_p\omega^{p-1}=0$

اکنون چندجمله ای مینیمال

$\omega$

چندجمله ای تحویل ناپذیر

$1+x+\dots+x^{p-1}$

است، بنابراین:

$1+x+\dots+x^{p-1}\mid a_1+a_2x+\dots+a_px^{p-1}\Rightarrow a_1=a_2=\dots=a_p$

پس

$p$

ضلعی، منتظم است.

پنج ضلعي منتظم

Dadgarnia

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Amitis :D

New Member