هندسه صفر تا 100
پاسخ : هندسه صفر تا 100
این سوال جز سوالات تمرینات دوره ای است که آقا hkh74 در
تمرینات کلاس های ....
گذاشتن. اینم لینک جواب:
Aops tangent in th middle
+اساتید این تاپیک رو ادامه بدن.
این سوال جز سوالات تمرینات دوره ای است که آقا hkh74 در
تمرینات کلاس های ....
گذاشتن. اینم لینک جواب:
Aops tangent in th middle
+اساتید این تاپیک رو ادامه بدن.
پاسخ : هندسه صفر تا 100
راهنمایی:mمرکز ثقل مثلث bdeاست
سوال بعدی(چون بهتره شماره سوال بزاریم من شمارشو سوال 1 میزارم)
پس سوال 1:
مثلث مختلف الاضلاع abc و حاده الزاویه رو در نظر بگیرید m,n,pبه ترتیب وسط اضلاعbc,ca,abهستن عمودمنصف های ab,acمیانهam رو به ترتیب در d,eقطع میکنن و خط هایbd,ceهمدیگر رو در نقطه fقطع میکنن ثابت کنین چهار نقطه a,n,f,pروی یه دایره اند؟
راهنمایی:mمرکز ثقل مثلث bdeاست
سوال بعدی(چون بهتره شماره سوال بزاریم من شمارشو سوال 1 میزارم)
پس سوال 1:
مثلث مختلف الاضلاع abc و حاده الزاویه رو در نظر بگیرید m,n,pبه ترتیب وسط اضلاعbc,ca,abهستن عمودمنصف های ab,acمیانهam رو به ترتیب در d,eقطع میکنن و خط هایbd,ceهمدیگر رو در نقطه fقطع میکنن ثابت کنین چهار نقطه a,n,f,pروی یه دایره اند؟
پاسخ : هندسه صفر تا 100
راه حل با تجانس مارپیچی.
محل تقاطع PD و NE را O میکیریم(مرکز دایره محیطی). با زاویه بازی ثابت میشه زاویه BFC برابر 2A است پس چهارضلعی BFOC محاطیه.(1)
با کمک رابطه (1) به راحتی میشه ثابت کرد دومثلث FDO و PDM با هم و دو مثلث FEO و ENM با هم متشابه اند.(2)
حالا از روی نتایج رابطه (2) میشه گفت F با تجانس مارپیچی به مرکز D و نسبت DM/DP و زاویه PDM به O تبدیل شده و بعد نقطه O با تجانس مارپیچی به مرکز E و زاویه NEM و نسبت EN/EM به
F تبدیل شده پس F مرکز معادل این دو ترکیب است. از طرفی با تبدیل اول P به M و با تبدیل دوم M به N تبدیل میشه پس P به مرکز F و زاو.یه مجموع دو تبدیل قبلی و نسبت ضرب دو نسبت قبلی به N تبدیل میشه که مجمع دو زاویه برابر 180+A هستش پس زاویه PFN برابر
پس چهار ضلعی ANFP محاطیه.
راه حل با تجانس مارپیچی.
محل تقاطع PD و NE را O میکیریم(مرکز دایره محیطی). با زاویه بازی ثابت میشه زاویه BFC برابر 2A است پس چهارضلعی BFOC محاطیه.(1)
با کمک رابطه (1) به راحتی میشه ثابت کرد دومثلث FDO و PDM با هم و دو مثلث FEO و ENM با هم متشابه اند.(2)
حالا از روی نتایج رابطه (2) میشه گفت F با تجانس مارپیچی به مرکز D و نسبت DM/DP و زاویه PDM به O تبدیل شده و بعد نقطه O با تجانس مارپیچی به مرکز E و زاویه NEM و نسبت EN/EM به
F تبدیل شده پس F مرکز معادل این دو ترکیب است. از طرفی با تبدیل اول P به M و با تبدیل دوم M به N تبدیل میشه پس P به مرکز F و زاو.یه مجموع دو تبدیل قبلی و نسبت ضرب دو نسبت قبلی به N تبدیل میشه که مجمع دو زاویه برابر 180+A هستش پس زاویه PFN برابر
پاسخ : هندسه صفر تا 100
UP
از اونجایی که سوال (2) حل نشد جوابشو میزارم(البته میدونم خیلی ها روش فکر نکردن):
[h=2]A well-known circle hides in the dark[/h]
حالا سوال بعدی یه نفر دیگه بذاره.!
UP
از اونجایی که سوال (2) حل نشد جوابشو میزارم(البته میدونم خیلی ها روش فکر نکردن):
[h=2]A well-known circle hides in the dark[/h]
حالا سوال بعدی یه نفر دیگه بذاره.!
پاسخ : هندسه صفر تا 100
محل تلاقی AB و DC را P و محل تلاقی IJ و AB را L و O را مرکز دایره محیطی ABCD مینامیم.میدانیم حکم برقرار است اگر و فقط اگر :زاویه IGH = زاویه JIB.
میدانیم چهار ضلعی FOEP محاطیه.(O در E, F بر AB,CD عمود است)پس:
از طرفی میدانیم که IJ قطبی نقطه نسبت به دایره است پس IJ بر OP عمود است پس:
پس:
محل تلاقی AB و DC را P و محل تلاقی IJ و AB را L و O را مرکز دایره محیطی ABCD مینامیم.میدانیم حکم برقرار است اگر و فقط اگر :زاویه IGH = زاویه JIB.
پس:
پاسخ : هندسه صفر تا 100
از همهگان عذر خواهی میکنم
بجاش این سوال هم قشنگه هم آسون
ذوزنقه
رو در نظر بگیرید به طوری که
و این ذوزنقه در دایرهwمحاطشده است و نقطه G را در مثلث BCDدر نظر میگیریم خطوط Ag , bg دایره را برای بار دوم در p,qقطع میکند خطی موازی AB از نقطه g رسم میکنیم تا BD , BC را در r , s قطع کند ثابت کنید چهارضلعی pqrs محاطی است اگر و فقط اگر خط bg نیمساز cbd باشد
از همهگان عذر خواهی میکنم
بجاش این سوال هم قشنگه هم آسون
ذوزنقه
پاسخ : هندسه صفر تا 100
اینم جواب:
فرض کنید g روی نیمساز باشه و ثابت میکنیم pqrs محاطیه .(طرف دیگرو با بازگشت همین ثابت میشه)
میدانیم pcba محطیه و gs موازی ab پس pcsg محاطیه.
محل برخورد aq با rg را e مینامیم و میدانیم qdab محاطیه و re موازی ab است پس dreq محاطیه.
ادامش دیگه اسونه با زاویه بازی و استفاده از تقارن ها (مثلا g,e و d,c و a,b ) حل میشه اگه میخواین ادامه بدم؟
اینم جواب:
فرض کنید g روی نیمساز باشه و ثابت میکنیم pqrs محاطیه .(طرف دیگرو با بازگشت همین ثابت میشه)
میدانیم pcba محطیه و gs موازی ab پس pcsg محاطیه.
محل برخورد aq با rg را e مینامیم و میدانیم qdab محاطیه و re موازی ab است پس dreq محاطیه.
ادامش دیگه اسونه با زاویه بازی و استفاده از تقارن ها (مثلا g,e و d,c و a,b ) حل میشه اگه میخواین ادامه بدم؟
پاسخ : هندسه صفر تا 100
:30:
اگر ap دایره محیطی رو در d قطع کند با توجه به شرایط مسئله(ac=bcرادیکال2) من تونستم ثابت کنم dc و ab با هم موازی اند. که در این صورت x ای وجود نخواهد داشت کهaqx=180-2c
چون نقاط q و n همان c میشوند.:7:
هه هه هه چه جالب خودم گذاشته بودم...........:4:
حالا یه سوال دیگه:
Abc حاده الزاویه و خطوط مماس بر دایره محیطی آن در b,c همدیگرو تو p قطع میکنن ap دایره محیطی و bc رو به ترتیب در m,d قطع میکنن اگر از d موازی ab رسم کنیم تا pc را در n قطع کند و محل تقاطع an و bc برابر q باشد و نقطه x را طوری روی cp در نظر میگیریم که زاویه aqx=180-2c باشد و
ثابت کنید خط موازی ad از x پاره خط qm را نصف میکند.............:3:
حالا یه سوال دیگه:
Abc حاده الزاویه و خطوط مماس بر دایره محیطی آن در b,c همدیگرو تو p قطع میکنن ap دایره محیطی و bc رو به ترتیب در m,d قطع میکنن اگر از d موازی ab رسم کنیم تا pc را در n قطع کند و محل تقاطع an و bc برابر q باشد و نقطه x را طوری روی cp در نظر میگیریم که زاویه aqx=180-2c باشد و
اگر ap دایره محیطی رو در d قطع کند با توجه به شرایط مسئله(ac=bcرادیکال2) من تونستم ثابت کنم dc و ab با هم موازی اند. که در این صورت x ای وجود نخواهد داشت کهaqx=180-2c
چون نقاط q و n همان c میشوند.:7:
پاسخ : هندسه صفر تا 100
بالاخره حل شد:4:
خود این سوال در دل خودش چند سوال نه چندان اسون داشت که باید برای حل اثبات میشدن که اول به اونا اشاره میکنم(ولی بدون اثبات ولی اگه لازم بود میگم):
1)mc موازی ab است. 2) از 1 نتیجه اثبات کنید مماس بر دایره در a از n رد میشود. 3)qx موازی pb است.
حالا محل برخورد qx با ap رو e یگیرید.با تالس باید ثابت کنیم x وسط eq است. از طرفی p(bdcq)=-1 که نتیجه میده p(bexq)=-1 و چون pb مموازی eq بود پس x وسط eq هستش.
:3:
هه هه هه چه جالب خودم گذاشته بودم...........:4:
حالا یه سوال دیگه:
Abc حاده الزاویه و خطوط مماس بر دایره محیطی آن در b,c همدیگرو تو p قطع میکنن ap دایره محیطی و bc رو به ترتیب در m,d قطع میکنن اگر از d موازی ab رسم کنیم تا pc را در n قطع کند و محل تقاطع an و bc برابر q باشد و نقطه x را طوری روی cp در نظر میگیریم که زاویه aqx=180-2c باشد و
ثابت کنید خط موازی ad از x پاره خط qm را نصف میکند.............:3:
حالا یه سوال دیگه:
Abc حاده الزاویه و خطوط مماس بر دایره محیطی آن در b,c همدیگرو تو p قطع میکنن ap دایره محیطی و bc رو به ترتیب در m,d قطع میکنن اگر از d موازی ab رسم کنیم تا pc را در n قطع کند و محل تقاطع an و bc برابر q باشد و نقطه x را طوری روی cp در نظر میگیریم که زاویه aqx=180-2c باشد و
خود این سوال در دل خودش چند سوال نه چندان اسون داشت که باید برای حل اثبات میشدن که اول به اونا اشاره میکنم(ولی بدون اثبات ولی اگه لازم بود میگم):
1)mc موازی ab است. 2) از 1 نتیجه اثبات کنید مماس بر دایره در a از n رد میشود. 3)qx موازی pb است.
حالا محل برخورد qx با ap رو e یگیرید.با تالس باید ثابت کنیم x وسط eq است. از طرفی p(bdcq)=-1 که نتیجه میده p(bexq)=-1 و چون pb مموازی eq بود پس x وسط eq هستش.
:3: