سوالی از المپیاد baltic

[mojtabaaa1373]

از اعداد 1 تا 2n-1 چند زیر مجموعه انتخاب میکنیم که اشتراک هر دو تایی از این زیر مجموعه ها از چند یا یک عدد که به صورت متوالی میباشند میباشد حداکثر تعداد زیر مجموعه ها را بیابید.
مشتاق راه حل های کوتاه شما میباشم!راه من که یه صفحه بودش.)

از تمامی راه حل های اساتید بزرگ استقبال میشود لطفا روی این سوال بفکرید.

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

اگه حل جدیدی دارید در حد یه کلیت هم شده بذارید
اگه ندارید راهنمایی :استقرا روی n

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

مرد نبود اینو حل کنه البته به جز بچس البرز(و معلماشون)(نقل قول از عارف بزرگ.)؟؟؟

 

[mahanmath]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

از اعداد 1 تا 2n-1 چند زیر مجموعه انتخاب میکنیم که اشتراک هر دو تایی از این زیر مجموعه ها از چند یا یک عدد که به صورت متوالی میباشند میباشد حداکثر تعداد زیر مجموعه ها را بیابید.
مشتاق راه حل های کوتاه شما میباشم!راه من که یه صفحه بودش.)

از تمامی راه حل های اساتید بزرگ استقبال میشود لطفا روی این سوال بفکرید.

اگه جواب

نمیشه ادامشو نخونید :5:!

خوب اول از همه واضحه که میتونیم هر کدوم از مجموعه هارو کامل کنیم ، یعنی هر مجموعه بشه یه بلوک متوالی از اعداد . حالا هر مجموعه رو می شه مثله یه بازه دید و خیلی راحت هم می شه چک کرد که هر ۳ تا از این بازه ها اشتراک دارن (چون فرض مساله میگه هر ۲ تا مجموعه یک یا چند عضو مشترک دارن....) .
پس چون هر ۳ تا اشتراک ناتهی دارن ، اشتراک کلشون هم شامل حداقل یه عضو مثل

هست .
حالا این

تو چند تا مجموعه شامل

تا عضو متوالی میتونه بیاد ؟
خوب بستگی به

داره و

.
اگه

باشه حداکثر

می شه ، و اگه

باشه

می شه . پس کلا ماکسیمم می شه

حالت تساوی هم معلومه ( باید

باشه )

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

اتفاقا اگه میشد ثابت کرد که هر مجموعه یه بلوک متوالی از اعداد هستش که دیگه سوال نبودش لطفا اگه میشه استاد ماهان این قسمت رو برای ما توضیح دهید؟
راستی جواب میشه(n+1)^2

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

راستی استاد ماهان شما المپیاد کامپیوتر هم دادین اگه فضولی نیست چند تا نوشتید؟
(یکی از بچه های ریاضی مدرسه ی ما 16 تا تستی که دو تاش غلط بود میشه 61.5
تشریحی هم 4.5 نصفه ی 2 دو نحلید.بنا براین شما باید فول داده اید.)

 

[mahanmath]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

اتفاقا اگه میشد ثابت کرد که هر مجموعه یه بلوک متوالی از اعداد هستش که دیگه سوال نبودش لطفا اگه میشه استاد ماهان این قسمت رو برای ما توضیح دهید؟
راستی جواب میشه(n+1)^2

من نگفتم که هر مجموعه شامل یه تعداد عدد متوالیه ، گفتم اگه یه سری مجموعه تو این شرط صدق کنن ، می شه همه رو کامل کرد (یعنی اون فاصله بین اعضا رو به مجموع اضافه کرد) ، و این کار باعث می شه :
۱)مجموعه های جدید هم تو شرط مساله صدق کنند.
۲)تعداد مجموعه ها کم نشه.
(چون اگه کوچکترین و بزرگترین عضو ۲ تا مجموعه برابر باشند کلا با هم برابرن چون اشتراکشون باید یک سری عدد متوالی باشه .)

پس کافی مسئله رو تو حالتی که مجموعه ها بلوک هستند حل کنیم ....

جواب هم فک کنم درست نوشتم ، نمیدونم چیو کم شمردم ..... شما میدونی استاد :16:؟

 

[mahanmath]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

راستی استاد ماهان شما المپیاد کامپیوتر هم دادین اگه فضولی نیست چند تا نوشتید؟
(یکی از بچه های ریاضی مدرسه ی ما 16 تا تستی که دو تاش غلط بود میشه 61.5
تشریحی هم 4.5 نصفه ی 2 دو نحلید.بنا براین شما باید فول داده اید.)

دم دوستتون گرم ! ما این نمره هارو تو خوابم نمی بینیم ....
منم مثل دوستتون سوال ۲ قسمت ب رو ننوشتم ، اون سوال جدول جادویی هم قسمت ب رو ننوشتم.
ولی تستی رو اصلا خوب ندادم ، ۴۰ درصد میشم فک کنم :223: ...

 

[mahanmath]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

پیدا کردی غلطشو ؟

چرا (n+1)^2 می*شه ؟

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

پیدا کردی غلطشو ؟

چرا (n+1)^2 می*شه ؟

View topic - subset-Baltic way 1990 • Art of Problem Solving
لینک اصلی سوال excuse me -1 باید به +1 تغییر پیدا کنه راستی راه کامل شما هم 1 صفحه شد دیگه.

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

اگه مایلید چند تا سوال دیگه هم بذارم تا بحلید بعدی ها اینقدم آسون نیست.:94:

 

[mahanmath]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

View topic - subset-Baltic way 1990 • Art of Problem Solving
لینک اصلی سوال excuse me -1 باید به +1 تغییر پیدا کنه راستی راه کامل شما هم 1 صفحه شد دیگه.

:115:Ghabool

 

[mahanmath]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

اگه مایلید چند تا سوال دیگه هم بذارم تا بحلید بعدی ها اینقدم آسون نیست.:94:

Esteghbal mikonim ....:48:

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

4 carpeting

suppose that

is a figure in the plane such that it's border doesn't contain any lattice points. suppose that

are two lattice points with the distance

(we call a point lattice point if it's coordinates are integers). suppose that we can cover the plane with copies of

such that

always go on lattice points ( you can rotate or reverse copies of

). prove that the area of

is equal to lattice points inside it.

time allowed for this question was 1 hour
من .0.5.ساعته حل کردم:94:.

 

[goodarz]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

4 carpeting

suppose that

is a figure in the plane such that it's border doesn't contain any lattice points. suppose that

are two lattice points with the distance

(we call a point lattice point if it's coordinates are integers). suppose that we can cover the plane with copies of

such that

always go on lattice points ( you can rotate or reverse copies of

). prove that the area of

is equal to lattice points inside it.

time allowed for this question was 1 hour
من .0.5.ساعته حل کردم:94:.

laaghal ye soali bezarid ke kesi nadide bashe. in ke soale khalaghiate hamin emsal bude!!

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

دقت نداشتید دیگه من گفتم چند تا سوال میذارم به ترتیب سطح لطفا اگه حلیدید میتونید مثل استاد ماهان جوابتونو بذارید.

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

2
تعدادی مربع داریم که مساحت آنها از 1 کمتر است ثابت کنید میشه همه ی آنها را در مربعی به مساحت 2 جا داد.

 

[counterexample]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

2
تعدادی مربع داریم که مساحت آنها از 1 کمتر است ثابت کنید میشه همه ی آنها را در مربعی به مساحت 2 جا داد.

میشه واضحتر بگید، الان مثلا سه تا داشته باشیم .....

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

نمیدونم منظورتون چیه اما اگه توضیح بیشتر می خواید:
n مربع با مجموع مساحت برابر با 1 داریم ثابت کنید که می توان آنها را در مربعی به مساحت 2 جا داد به طوری که همپوشانی نداشته باشند و از مربع هم بیرون نزنند.

 

[mahanmath]

پاسخ : سوالی از المپیاد baltic

نمیدونم منظورتون چیه اما اگه توضیح بیشتر می خواید:
N مربع با مجموع مساحت برابر با 1 داریم ثابت کنید که می توان آنها را در مربعی به مساحت 2 جا داد به طوری که همپوشانی نداشته باشند و از مربع هم بیرون نزنند.

کاش به ضلع ۲ بود ،البته اون موقع بدیهی :200:* میشد! ....