چندجمله ای و تابع فی اویلر

[goodarz]

الف) همه چند جمله ای های غیرثابت

با ضرایب صحیح که هیچ ریشه طبیعی ندارند را بیابید که برای هر عدد طبیعی

,

.

ب) همه چند جمله ای های غیرثابت

با ضرایب صحیح که هیچ ریشه طبیعی ندارند را بیابید که برای هر عدد طبیعی

,

.

اینم لینک سوال تو Mathlinks که کسی هوس نکنه مثل من لینک بده :205:

View topic - Polynomial with Euler Phi Function • Art of Problem Solving

 

[M_Sharifi]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

الف) همه چند جمله ای های غیرثابت

با ضرایب صحیح که هیچ ریشه طبیعی ندارند را بیابید که برای هر عدد طبیعی

,

.

اگر

در این صورت عدد اول

و عدد طبیعی

وجود دارند که

. در این صورت

که تناقضه. بنابراین

و لذا

. حالا اگه

برای هر عدد زوج

که

داریم

که غیر ممکنه. پس

.
​

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

99 درصد جوپ زدم ولی بازم راه 99 درصد جوپ دار خودمو میگم:
الف) اگه یه عدد اول بزرگ p رو در نظر بگیریم و با استفاده از این که رشد p(x) در صورتی که درجش از یک بزرگتر باشه ار x بیشتره و فی p با p-1 برابر هست بنا بر این باید p(x) درجش 1 باشه و با توجه به این که بی نهایت تا عدد اول داریم به دست میاد که P(x) باید ضریبش 1 یا -1 یا 0(که صفر با شرط مسئله در تناقضه)باشه سپس به دست میاد که a اندیس صفرشم باید 0 باشه چون مقسوم علیه یه عدد به جز خودش باید حداکثر نصفش باشه.
ب)ثابت میکنیم که جمله ثابت چند جمله ای برابر 0 هست : فرض کنیم برابر باشه x رو مضربی از p^r که p از k بزرگتره و r طبیعی و بزرگتر از 2 هست در نظر میگیریم داریم فی x بر p بخشپذیره ولی فی p(x) بر اون بخشپذیر نیست بنابراین جمله ثابت 0 هست و p(x) بر x بخشپذیره.

 

[M_Sharifi]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

99 درصد جوپ زدم ولی بازم راه 99 درصد جوپ دار خودمو میگم:
الف) اگه یه عدد اول بزرگ p رو در نظر بگیریم و با استفاده از این که رشد p(x) در صورتی که درجش از یک بزرگتر باشه ار x بیشتره و فی p با p-1 برابر هست بنا بر این باید p(x) درجش 1 باشه و با توجه به این که بی نهایت تا عدد اول داریم به دست میاد که P(x) باید ضریبش 1 یا -1 یا 0(که صفر با شرط مسئله در تناقضه)باشه سپس به دست میاد که a اندیس صفرشم باید 0 باشه چون مقسوم علیه یه عدد به جز خودش باید حداکثر نصفش باشه.
ب)ثابت میکنیم که جمله ثابت چند جمله ای برابر 0 هست : فرض کنیم برابر باشه x رو مضربی از p^r که p از k بزرگتره و r طبیعی و بزرگتر از 2 هست در نظر میگیریم داریم فی x بر p بخشپذیره ولی فی p(x) بر اون بخشپذیر نیست بنابراین جمله ثابت 0 هست و p(x) بر x بخشپذیره.

کاملا نتیجه گیری هات اشتباهه. رشد P(x به رشد فی P(x چه ربطی داره؟ قسمت ب هم واضحه که رو هوا یه چیزایی گفتی.

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

کاملا نتیجه گیری هات اشتباهه. رشد P(x به رشد فی P(x چه ربطی داره؟ قسمت ب هم واضحه که رو هوا یه چیزایی گفتی.

اگر بزرگترین توان p(x) رو k در نظر بگیریم و k حداقل 2 باشه میدونیم که فی p(x) حداقل3/ p(x) .2 هست که از رادیکال p(x) بیشتره
بنا براین راجع به رشدش میشه بحث کرد.
قسمت 2 رو هم کجاش رو هواست؟

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

99 درصد جوپ زدم ولی بازم راه 99 درصد جوپ دار خودمو میگم:
الف) اگه یه عدد اول بزرگ p رو در نظر بگیریم و با استفاده از این که رشد p(x) در صورتی که درجش از یک بزرگتر باشه ار x بیشتره و فی p با p-1 برابر هست بنا بر این باید p(x) درجش 1 باشه و با توجه به این که بی نهایت تا عدد اول داریم به دست میاد که p(x) باید ضریبش 1 یا -1 یا 0(که صفر با شرط مسئله در تناقضه)باشه سپس به دست میاد که a اندیس صفرشم باید 0 باشه چون مقسوم علیه یه عدد به جز خودش باید حداکثر نصفش باشه.
ب)ثابت میکنیم که جمله ثابت چند جمله ای برابر 0 هست : فرض کنیم برابر k باشه x رو مضربی از p^r که p از k بزرگتره و r طبیعی و بزرگتر از 2 هست در نظر میگیریم داریم فی x بر p بخشپذیره ولی فی p(x) بر اون بخشپذیر نیست بنابراین جمله ثابت 0 هست و p(x) بر x بخشپذیره.

ببخشید این یه تیکه جا افتاد

 

[M_Sharifi]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

اگر بزرگترین توان p(x) رو k در نظر بگیریم و k حداقل 2 باشه میدونیم که فی p(x) حداقل3/ p(x) .2 هست که از رادیکال p(x) بیشتره
بنا براین راجع به رشدش میشه بحث کرد.

نه. نسبتشون می تونه به سمت صفر هم بره.

 

[M_Sharifi]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

ب)ثابت میکنیم که جمله ثابت چند جمله ای برابر 0 هست : فرض کنیم برابر باشه x رو مضربی از p^r که p از k بزرگتره و r طبیعی و بزرگتر از 2 هست در نظر میگیریم داریم فی x بر p بخشپذیره ولی فی p(x) بر اون بخشپذیر نیست بنابراین جمله ثابت 0 هست و p(x) بر x بخشپذیره.

رو هوا یعنی همین.

 

[goodarz]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

99 درصد جوپ زدم ولی بازم راه 99 درصد جوپ دار خودمو میگم:
الف) اگه یه عدد اول بزرگ p رو در نظر بگیریم و با استفاده از این که رشد p(x) در صورتی که درجش از یک بزرگتر باشه ار x بیشتره و فی p با p-1 برابر هست بنا بر این باید p(x) درجش 1 باشه و با توجه به این که بی نهایت تا عدد اول داریم به دست میاد که P(x) باید ضریبش 1 یا -1 یا 0(که صفر با شرط مسئله در تناقضه)باشه سپس به دست میاد که a اندیس صفرشم باید 0 باشه چون مقسوم علیه یه عدد به جز خودش باید حداکثر نصفش باشه.
ب)ثابت میکنیم که جمله ثابت چند جمله ای برابر 0 هست : فرض کنیم برابر k باشه x رو مضربی از p^r که p از k بزرگتره و r طبیعی و بزرگتر از 2 هست در نظر میگیریم داریم فی x بر p بخشپذیره ولی فی p(x) بر اون بخشپذیر نیست بنابراین جمله ثابت 0 هست و p(x) بر x بخشپذیره.

از کجا معلوم فی p(x) به اون بخشپذیر نیست؟؟؟ یادآوری کنم که فی یه عدد بجز عوامل اون عدد میتونه عامل های دیگه ای هم داشته باشه....

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

نه. نسبتشون می تونه به سمت صفر هم بره.

اوکی عجب اشتباهی کردما
دعا میکنم این یکی غلط نباشه؟؟؟
فی x >فی P(x) > فی p(P(x)) وبه همین ترتیب سمت چپ به سمت بی نهایت میره چون درجه ی p از 1 بیشتره.اما تابع فی حد نداره؟؟؟

 

[goodarz]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

اوکی عجب اشتباهی کردما
دعا میکنم این یکی غلط نباشه؟؟؟
فی x >فی P(x) > فی p(P(x)) وبه همین ترتیب سمت چپ به سمت بی نهایت میره چون درجه ی p از 1 بیشتره.اما تابع فی حد نداره؟؟؟

phi x> phi p x????? پرانتز نذاشتم چون میره تو هم...
فک کنم اینی که نوشتین غلطه...

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

مگه phi p x مقسوم علیه phi x نیست؟ اگه از اون لحاظ بهش نگاه کنیم یه مساوی کم داره.(<=)

 

[goodarz]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

مگه phi p x مقسوم علیه phi x نیست؟ اگه از اون لحاظ بهش نگاه کنیم یه مساوی کم داره.(<=)

اینی که نوشتین درسته ولی چرا این تناقض میده؟ من متوجه نمیشم....

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

چون که برای x های بزرگ p(x) از x بزرگتره پس اگه n بار هم p بگیریم باز بزرگتر میشه به عبارتی باید phi یه عدد تو بی نهایت حد داشته باشه که این طور نیست.:229:

 

[M_Sharifi]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

چون که برای x های بزرگ p(x) از x بزرگتره پس اگه n بار هم p بگیریم باز بزرگتر میشه به عبارتی باید phi یه عدد تو بی نهایت حد داشته باشه که این طور نیست.:229:

مرسی. البته با در نظر گرفتن همون رشد

هم میشد به تناقض رسید. به راه هم اینه که یه فرمی از اعداد رو تو مسئله بذاریم (مثلا

)

 

[goodarz]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

ممنون از راه حل های قشنگتون. حالا لطفن رو قسمت ب فکر کنید چون منم فعلا راه حلی واسش ندارم :92:!!!

 

[mojtabaaa1373]

پاسخ : چندجمله ای و تابع فی اویلر

یه نکته ی جالب راجع به قسمت ب کدشو استادم زد مثل این که تا یه جاهای تقریبا زیادی جوابش جمله ثابت برابر 0 هست.