ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

Aref · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

سوال بعدی:
تمام

$(m,n)$

هایی از اعداد طبیعی را بیابید که

$mn-1\mid m^2+n^2$

.
@Goldeneagle:
OK!
PS: بهتره اولش ایده ی (سری) سوال ها رو نگید. این طوری با حل کردن چند تا سوال آدم بیشتر چیز یاد میگیره تا این که اولش بدونه باید با چه چیزی سوال رو حل کنه.

goldeneagle · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

من یک نکته هم به نظرم اومد که بگم.....در یکی از سوالات یک نکته ای ثابت شد و اون هم این بود که :
اگر برای اعداد طبیعی

$x,y,z$

داشته باشیم

$\frac {x^2+y^2+1}{xy} = z$

انگاه

$z=3$

و در این حالت بی نهایت جواب وجود دارد که بررسی شد قبلا .... این نکته را به عنوان یک لم در ذهن داشته باشید. سوالاتی وجود دارند که با vieta jumping حل می شوند و در اصل از این لم استفاده می کنند.... خوب بلد بودن این لم یک گام رو به جلو است!

shoki · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

یه چیزی که یک کم مرتبطه فکر کنم:

پست allnames رو ببینید ...

AoPS Forum - A 5 • Art of Problem Solving

یا

AoPS Forum - A 3 • Art of Problem Solving

goldeneagle · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

به به شوکی!!!! میبینی من چه خیر و دست به خیر شدم شوکی!!! ماراتن راه میندازم!!! مثل تو همش بیل نمی زنم! :205:

به عارف: کاملا حق با شماست.... به همین دلیل قرار شد در این ماراتن فقط بچه های دوره طلا سوال بذارن تا زمام کار از دستمون در نره و همه ی سوالها یهو گفته نشه! بالاخره در هر یادگیری حل چند سوال هم لازم است ...مثل تمارین پایان یک فصل یک کتاب..اما زیاد از حد نباید باشد...البته سوالی که شما گذاشتید سوال انتخاب تیم 2002 آمریکاست و در برنامه بود....ما بعد از این سوال تنها یک سوال دیگر خواهیم گذاشت و تمام! البته اگر کسی علاقه مند باشد می تواند در پیغام های خصوصی از من یا ماهان یا گودرز یا بهزاد سوال بیشتری بگیرد که من توصیه نمی کنم....

در ضمن خیلی ممنون از بابت تذکرتان....

ash1374 · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

فرض کنید نسبت این رابطه ی بخشپذیری tباشه.معادله ی درجه زیر را تشکیل می دهیم. واضحه mوn مخالفند.

m[SUP]2[/SUP]+n[SUP]2[/SUP]-tmn+t=0

فرض کنید m>n و در بین همه ی زوج های mوnکه اون نسبت t بشه اون رو که m مینمم بشه بگیرید. معادله ی بالا جواب دیگری یعنی n[SUP]2[/SUP]+t /m را هم دارد که طبیعیه و برای n>1 با نامساوی نوشتن در می آد m=1,2,3
که هیچ کدوم جواب نمیده. برای n=1 هم در میاد m=2,3 که هر دو جوابن. که جالبه در هر دو حالت t=5
حالا از روی این دو جواب و اون تبدیلی که ازش جواب کوچکتر ساختیم میشه تمام جواب ها رو ساخت که طبیعتا بی شمار جواب داره.مثلا

(1و2) --> (9.2) --> (9و43) --< . . .

برا ی جواب 1و3 هم ممشابها بدست می آد

threehandsnal · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

@ hkh74

اگر

$m=n$

آنگاه تنها جواب ممکن

$(m,n)=(2,2)$

است.حال فرض کنید

$m=n$

نباشد:

$mn-1|(n^2-n+1)^2\Rightarrow mn-1|(m-1)^2+(n-1)^2+1$

$m-1=x,n-1=y\Rightarrow xy+x+y|x^2+y^2+1$

حال x را مینیمال فرض کنید و با استفاده از ویت بدست می آید که تنها جواب ممکن

$\frac{x^2+y^2+1}{x+y+xy}=2$

است. بنابراین:

$x^2+y^2+1=2(x+y+xy)\Rightarrow (x+y-1)^2=4xy,(x,y)=1 \Rightarrow x=k^2,y=t^2$

حال با جایگذاری بدست می آید:

$(k-t)^2=1\Rightarrow WLOG:k=t+1\Rightarrow x=(k+1)^2,y=k^2$

$\Rightarrow m=(k+1)^2+1,n=k^2+1$

$(m,n)=((t+1)^2+1,t^2+1)\: \: (t\in \mathbb{N}\cup \left \{ 0 \right \})$

و چون

$P(m,n)=P(n,m)$

بنابراین خواهیم داشت:

$(m,n)=(t^2+1,(t+1)^2+1)\: \: (t\in \mathbb{N}\cup \left \{ 0 \right \})$

و مجموعه جواب برابر است با این دو خط نهایی اجتماع

$(2,2)$

...

Aref · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

ash1374 گفت

الان مجموعه ی جواب ها چی شدن؟

ash1374 گفت

توی صورت اصلی سوال گفته شده که فرم صریح جواب ها رو هم پیدا کنید.

ash1374 · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

Aref گفت

در مورد این سوال هم میشه بطور مشابه از روی جواب ها ی نهایی و اون تبدیل همه ی جواب ها رو ساخت.
فرم صریحش خوب با نوشتن رابطه بازگشتی بدست می آد.
a[SUB]n[/SUB] = -a[SUB]n-2 [/SUB]+ 5a[SUB]n-1[/SUB]

Aref · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

ash1374 گفت

جوابشو خودم میدونم. گفتم شاید اینم مثل قبلی جوب داشته باشه و جواب هارو به دست نیاورده باشید.

threehandsnal · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

فک کنم راه حل قابل قبول برای این سوال هم اراپه شده. post #26 (جواب خود من) و جواب کاربر محترم ash1374 فک کنم جفتشون مورد قبول باشن.. اگه زحمتی نیست سوال بعدی رو بعدی رو بذارین...

Aref · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

threehandsnal گفت

ولی همه ی (m,n) ها به دست نیومده.

threehandsnal · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

توی راه حل من بدست اومده:
به دو حالت افراز شد یکی اینکه m,n برابر باشند و اونیکی اینه که m,n برابر نباشند.مجموعه جواب هم اینه(یه دور دیگه post #26 رو بخونین) :

$M=\left \{ (m,n)| \forall t\in \mathbb{N}\cup \left \{ 0 \right \}:\right m=t^2+1,n=(t+1)^2+1\}\bigcup \left \{ (m,n)| \forall t\in \mathbb{N}\cup \left \{ 0 \right \}:\right n=t^2+1,m=(t+1)^2+1\}\bigcup \left \{ (2,2) \right \}$

ash1374 · 1390/12/11

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

Aref گفت

مثل سوال دیگه این سوال هم با رابطه ی بازگشتیه 2a[SUB]n-1 [/SUB]-a[SUB]n-1[/SUB]=a[SUB]n[/SUB] همه ی جواب هاش ساخته میشه و جواب 2 و2 هم که جداست. این هم همان جواب هایی است که توسط کاربر محترم threehandsnal هم بدست اومده.

Aref · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

ash1374 گفت

اون چیزی که من از این راه حل برداشت کردم اینه که جواب ها متناهی اند. که به وضوح غلطه.

threehandsnal گفت

:21:
اون که جواب یه سوال دیگست.
من منظورم اون سوالیه که خودم گذاشته بودم. و همین ash1374 راه حلی نوشت که توضیح نداده چیکار کرده، جواب هارو به دست نیاورده و فقط یه معادله نوشته و گفته فرض کنید یه چیزی مینیمال باشد.
توی حل سوال قبلی که من هیچ جایی ندیدم نوشته باشن

$((t+1)^2+1,t^2+1)$

هم جوابه. :lol: پس امکان داره این یکی هم جوب داشته باشه.
خب اگه قرار باشه هر سوالی که از vieta jumping میدن یه چیزایی رو کپی کنید که دیگه نمیشه راه حل.
ضمن این که من توی راه حل شما در سوال قبلی هم نفهمیدم چطوری از مینیمال بودن x نتیجه گرفتید که

$\frac{x^2+y^2+1}{xy+x+y}=2$

.
PS: من خودم همیشه جور دیگه ای از این تکنیک استفاده می کنم.
ولی اگه می خواین برای این که ماراتن راه بیفته این سوال رو بچونیم من حرفی ندارم.(هر چند هنوز حل نشده!)

goldeneagle · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

ماهان الان خوابه ولی قراره خودش بیاید حلهای شما را برای سوالی که گذاشته بخونه و بررسی کنه.... به محض این که اون سوال بررسی شد میریم سراغ سوال بعد....سوال بعد همون سوال انتخاب تیم 2002 آمریکاست که آقا عارف قبلا گذاشته بودن (دوستان لطفا از این به بعد وظیفه سوال گذاشتن را به ما محول کنید!!!‌) البته من بازم صورت سوال رو مینویسم اما

تا وقتی ماهان تکلیف این راه حلها رو معلوم نکرده به سراغ اون سوال نروید لطفا! بذارید نظم ماراتن حفظ بشه! خدا خیرتون بده!‌‌ :4:

در آخر هم واقعا با این استقبالتون ما رو دلگرم کردید! :41:

ash1374 · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

معذرت می خوام آقا عارف. من نفهمیدم شما کدوم سوالو میگین.اون سوالی که صورتش بود mn-1|(n[SUP]2[/SUP]-n+1)[SUP]2 [/SUP]حق با شماست. من اول اشتباه کردم و همه ی جواب ها رو بدست نیاوردم ولی بعد گفتم که از روی رابطه بازگشتی 2a[SUB]n-1 [/SUB]-a[SUB]n-1[/SUB]=a[SUB]n[/SUB] جواب های دیگه بدست می آد . البته به علاوه ی جواب 2 و 2. یعنی هر دو عضو متوالی از اون دنباله که همون n[SUP]2[/SUP]+1 هستن یه جواب مسئله است.
اون سوالی هم که خودتون گذاشتین راه حل من توی پست #25 هستش. اون راهی که بالا گذاشتین مال سوال بالاییه که گفتم اشتباه کرده بودم. بعد گفتین فرم صریحش چیه که گفتم با اون رابطه بازگشتی فرم صریحش بدست می آد. البته دو نوع جواب داشت که رابطه بازگشتیشون یکیه ولی جوله ی دومشون فرق داره.
حالا یکی از بچه ها اگه میشه لطف کنه بگه کدوم سوال راه حلش هنوز کامل نیست تا ما بیشتر روش فک کنیم.
[HR][/HR]
ببخشید در مورد اون سوال بحث کردم پست بالایی رو ندیدم.

math-sina · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

Aref گفت

در مورد این سوال :

AoPS Forum - Find all m,n such that mn-1|m^2+n^2 • Art of Problem Solving

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=383697&p=2128463&hilit=mn+1+m^2+n^2#p2128463

math-sina · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goldeneagle گفت

ما گفتیم تا استاد ماهان خوابن به این سوال لینک بدیم (راه حل که نزاشتم):4:
راستی سراغ هندسه و ترکیبیات هم میرین شما ؟ یعنی تکنیک هایی از اونا هم میزارین ؟

در آخر شما هم ما رو به بچه های دوره طلا دلگرم کردین :196::25::4::15:

goldeneagle · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

اولا لطفا سراغ اون سوال نروید یعنی لطفا راجع بهش بحث نکنید :68: ...ماهان هم رفته بیرون عصر میاد که بخونه حلها رو..... میتونید خودتون روی اون سوال فکر کنید اما اینجا روش بحث نکنید...اگه خیلی علاقه مندید آماده کنید به محض این که سوال قبل تموم شد حلش رو بذارید!!!!!!!!!!!!! در ضمن اینجا لینک دادن کراهت داره!‌!!!! :3:

بله سراغ همه ی درسها میرویم انشاالله!

goodarz · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

دوستان سعی کنید حرفای این پست علیرضا یادتون باشه: http://www.irysc.com/forum/t6886-2/#post90587
ما میخوایم این سوالا اینجا بررسی بشن تا بچه ها راه حلشو کامل یاد بگیرن و احیانا اگه اشکالی تو راه خودشون داشتن برطرف بشه. سعی می کنیم همه درسارو پوشش بدیم, ولی این خیلی به همکاری شما هم بستگی داره.
ممنون

ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member