تمریناتی برای استقرا

mmahdit · 1393/9/2

دوستان این حقیر مسائلی را به عنوان تمرین برای استقرا از چند منبع جمع آوری کردم. اگر کسی کمکی می تواند در زمینه برگرداندن این ها به پارسی تک داشته باشد لطفا به من پیغام خصوصی بدهد.
این تمرینات به تدریج اضافه خواهند شد.
قسمت هایی که در پی می آید از جزوه ای از خوزه اسپینوزا به فارسی برگردانده شده اند.

استقرا در نظریه اعداد :

1-فرض کنید

$p\geq 2$

عددی اول و

$n$

عددی صحیح و نامنفی باشد. همیچنین فرض کنید:

$F(n)=\sum_{i=1}^{p-1}i^{n(p-1)+1}-\frac{n(n-1)}{2}\sum_{i=1}^{p-1}(i^{2p-1}-3i^2)-\frac{p(p-1)(n(p-1)+1)}{2}$

به وسیله استقرا ثابت کنید

$p^3 |F(n)$

2-دنباله فیبوناچی(همانطور که احتمالا می دانید) به این صورت تعریف می شود:

$f_{1}=1$

,

$f_{2}=1$

,

$\forall \, n\geq 3 ,f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$

به وسیله استقرای ریاضی ثابت کنید برای تمام

$n$

های صحیح مثبت:

$7\, |\, 1+2^{2n}+3^{2n}+2((-1)^{f_n}+1)$

3-فرض کنید

$f_{n}$

،

$n$

-اُمین عدد دنباله فیبوناچی باشد. حکم زیر را به بیش از یک روش ثابت کنید:

$13\, |\, 2(2^{2n}+5^{2n}+6^{2n})+3(-1)^{n+1}((-1)^{f_n}+1)$

4- فرض کنید

$p , q$

اعددی اول و فرد باشند به طوریکه

$p< q$

و

$q-1$

بر

$p$

بخش پذیر نباشد. همین طور فرض کنید

$a_{1}, a_2 ,... ,a_m$

اعدادی صحیح و مثبت باشند به نحویکه به ازای هر عدد صحیح مثبت فرد

$k$

داریم:

$p^2q^2\, |\, \sum_{i=1}^{m}{a_i}^{kpq}$

و همچنین

$p^2q^2\, |\, \sum_{i=1}^{m}a_i$

در ضمن هیچ یک از

$a_i$

ها نه بر

$p$

و نه بر

$q$

بخش پذیر نیستند. حال فرض کنید

$F(n)=\sum_{i=1}^{m}a_i^{(p-1)(q-1)n+1}$

و

$n\geq 0$

ثابت کنید برای هر عدد صحیح مثبت

$n$

,

$p^2q^2\, |\, F(n)$

5- فرض کنید

$a,b,c$

اعدادی صحیح و مثبت باشند بطوریکه

$a+b=c$

. فرض کنید

$d$

عاملی فرد از

$a^2+b^2+c^2$

باشد . برای همه اعداد صحیح و مثبت

$n$

ثابت کنید :

الف)

$d\, |\, a^{6n-4}+b^{6n-4}+c^{6n-4}$

ب)

$d^2\, |\, a^{6n-2}+b^{6n-2}+c^{6n-2}$

ج) اگر

$d$

بر

$3$

بخش پذیر نباشد آنگاه

$d\, |\, a^{2^n}+b^{2^n}+c^{2^n}$

د)

$d^2\, |\, a^{4^n}+b^{4^n}+c^{4^n}$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ادامه تمرینات :

6- دنباله

$F(n)$

را به اینصورت تعریف می کنیم:

$F(1)=1, \; F(2)=6, \:$

به ازای هر

$n\geq 3$

،

$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$

ثابت کنید برای هر

$n\geq 2$

الف)

$\sum_{i=1}^{n}F(i)^2=F(n)F(n+1)-5$

ب)

$F(n)^2+F(n+1)^2=F(2n+4)-F(2n-3)$

7-فرض کنید

$p$

عددی اول به فرم

$4k+3$

باشد. ثابت کنید به ازای هر

$n\geq 1$

$p\: |\: \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i^{2^{n}}$

8- ثابت کنید برای همه اعداد صحیح و مثبت

$n$

،

$2^{2n-1}+4^{2n-1}+9^{2n-1}$

مربع کامل نیست.

9-ثابت کنید به ازای همه اعداد صحیح و مثبت

$n$

،

$8^{2^{n}}-5^{2^{n}}$

مربع کامل نیست.

10- ثابت کنید برای هر عدد صحیح و نامنفی

$n$

،

$2(13^{6n+1}+30^{6n+1}+100^{6n+1}+200^{6n+1})+2n(n-2)(13^7+30^7+100^7+200^7)-n(n-1)(13^{13}+30^{13}+100^{13}+200^{13})$

بر

$7^3$

بخش پذیر است.

ادامه دارد...

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

mmahdit · 1393/9/3

قسمت دوم

ادامه:

11- فرض کنید

$p$

عددی اول باشد و

$f(n)$

تابعی باشد که از اعداد صحیح مثبت به اعداد صحیح مثبت تعریف شده باشد . همچنین می دانیم که اعداد صحیح و مثبت

$c,k$

وجود دارند به طوریکه به ازای هر عدد صحیح و مثبت

$n$

:

$p\: |\: f(n+c)-kf(n)$

ثابت کنید که به ازای هر عدد صحیح و مثبت

$n$

، عددی صحیح و مثبت مانند

$b$

وجود دارد بطوریکه

$p\: |\: f(n+bc)-f(n)$

12-

$n\in \mathbb{N}\cup { 0 }$

، ثابت کنید

$1+2^{4n+2}+3^{4n+2}+4^{4n+2}+5^{4n+2}+6^{4n+2}$

بر

$13$

بخش پذیر است.

13-

$n\in \mathbb{N}\cup { 0 }$

، ثابت کنید

$2(3^{4n+3}+4^{4n+3})-25n^2+65n+68$

بر

$125$

بخش پذیر است.

14-

$n\in \mathbb{N}$
، ثابت کنید

$2^{2^n}+3^{2^n}+5^{2^n}$
بر

$19$

بخش پذیر است.

15-

$n\in \mathbb{N}\cup { 0 }$

، عددی اول است. ثابت کنید :

$100(2^{(p-1)n+1}-3^{(p-1)n+1}-5^{(p-1)n+1}+6^{(p-1)n+1})\, -n(2^{100(p-1)+1}-3^{100(p-1)+1}-5^{100(p-1)+1}+6^{100(p-1)+1})$

بر

$p^2$

بخش پذیر است.

16- تابع

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

در این شرط صدق می کند:

$f(1)=f(2)=1$

و برای

$n\geq 3$

،

$f(n)=3[f(n-1)+f(n-2)]+1$

. ثابت کنید برای هر

$n\in \mathbb{N}$

،

$32\: |\: f(3n)+f(3n+1)$

17-

$p$

عددی اول و فرد است و تابع

$f:\mathbb{N} \cup {0}\rightarrow \mathbb{Z}$
در این شرط صدق می کند: برای همه اعداد صحیح و نامنفی

$n$

،

$F(n+3)-3F(n+2)+3F(n+1)-F(n)\equiv 0\; (mod\: \: p^3)$

ثابت کنید

$F(n)\equiv \frac{(n-1)(n-2)}{2}F(0)-n(n-2)F(1)+\frac{n(n-1)}{2}F(2) \; (mod\; p^3)$

18- فرض کنید

$a,b$

اعدادی صحیح و مثبت باشند و

$(a,b)=1$

. همچنین فرض کنید برای عدد اول

$p$

داریم

$p\; |\: a^2+ab+b^2$

ثابت کنید برای همه اعداد صحیح و نامنفی

$n$

،

$p^2\; |\; a^{(p-1)n+4}+b^{(p-1)n+4}+(a+b)^{(p-1)n+4}$

19- فرض کنید

$p$

عددی اول به فرم

$6k+5$

باشد. ثابت کنید برای همه اعداد صحیح نامنفی

$n$

داریم:

$p\; |\; \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i^{2(3^n)}$

20-

$p$

عددی اول به فرم

$4k+1$

است. ثابت کنید به ازای همه اعداد صحیح و نامنفی

$n$

داریم :

$p\; |\; \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i^{4n+2}$

mmahdit · 1393/9/8

پاسخ : تمریناتی برای استقرا

اگر کسی روی این مسائل فکر کرد و قدری تلاش کرد و اثری از آن را در اینجا بروز داد ادامه مسائل را می نویسم.

تمریناتی برای استقرا

mmahdit

New Member

mmahdit

New Member

mmahdit

New Member