سه تایی a,b,c

HatefS · 1390/2/16

همه ی سه تایی های طبیعی

$(a,b,c)$

را بیابید که:

$a^2b\mid a^3+b^3+c^3$

$b^2c\mid a^3+b^3+c^3$

$c^2a\mid a^3+b^3+c^3$

alihadadian · 1390/2/16

پاسخ : سه تایی a,b,c

a,b,c اعداد ی که عامل های اولشون یکسان هست جواب مسئله نیست ؟؟؟

HatefS · 1390/2/16

پاسخ : سه تایی a,b,c

غلطه......

mahanmath · 1390/2/16

پاسخ : سه تایی a,b,c

HatefS گفت

بعد از ساده کردن ب.م.م داریم

$(a,b,c)=1 \Rightarrow a^2 b^2 c^2 \mid a^3 + b^3 +c^3$

بقیش هم یه خورده نابرابری هست .
کل جواب ها :

$(d,d,d) , (d,2d,3d)$

HatefS · 1390/2/16

پاسخ : سه تایی a,b,c

mmath گفت

لطفا کامل راهتونو بگید.

mojtabaaa1373 · 1390/2/17

پاسخ : سه تایی a,b,c

HatefS گفت

همه ی سه تایی های مثبت

$(a,b,c)$

را بیابید که:

$a^2b\mid a^3+b^3+c^3$

$b^2c\mid a^3+b^3+c^3$

$c^2a\mid a^3+b^3+c^3$

اول a,b,c رو نسبت به هم اول بگیر P^A رو دو خط P توی a بگیر بعد b^3+c^3 رو تجزیه کن و از این استفاده کن که هیچ کدوم نمی تونه زوج باشه از طرفی برای راحتی کار فرض کن a از همه بزرگتر باشه بقیشو هر کسی میتونه بنویسه.

mimilad · 1390/2/17

پاسخ : سه تایی a,b,c

راه من هم تقريبا به همين صورت است .

M_Sharifi · 1390/2/18

پاسخ : سه تایی a,b,c

HatefS گفت

فرض می کنیم

$a\geq b,c$

و

$(a,b,c)=1$

. در این صورت به راحتی نتیجه می گیریم

$(a,b)=(b,c)=(c,a)=1$

. بنابراین

$a^2b^2c^2\mid a^3+b^3+c^3$

. پس

$3a^3\geq a^3+b^3+c^3\geq a^2b^2c^2\Rightarrow 3a\geq b^2c^2$

ضمن این که

$a^2\mid b^3+c^3\Rightarrow b^3+c^3\geq a^2$

از ترکیب این دو رابطه نتیجه میگیریم

$18b^3\geq 9(b^3+c^3)\geq b^4c^4\Rightarrow c^4\leq 18\Rightarrow c\in\{1,2\}$

اگر c=2 در نابرابری به بالا به جواب b=1 و نتیجتا a=3 میرسیم.
اگر c=1، داریم

$a^3+a^2b+a^2\geq a^3+b^3+1\geq a^2b^2\Rightarrow a\geq b^2-b+1$

بنابراین

$b^3+1\geq a^2\geq(b^2-b+1)^2\Rightarrow b+1\geq b^2-b+1\Rightarrow b\leq2$

اگر b=2 نتیجه می گیریم a=3. و اگر b=1 نتیجه میگیریم a=1. بنابراین جواب های دستگاه عبارتند از

$(a,b,c)=(k,2k,3k)$

و جایگشت های آن و جواب

$a=b=c$

.

سه تایی a,b,c

HatefS

New Member

alihadadian

Guest

HatefS

New Member

mahanmath

New Member

HatefS

New Member

mojtabaaa1373

Active Member

mimilad

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی