سوالات ازمایشی برای امادگی م2

math1998 · 1393/5/28

سوال 1. نشان دهید هر n ضلعی منتظم با مساحت واحد را میتوان درون یک مستطیل با مساحت 2 جای داد .

سوال 2. نشان دهید برای هر n طبیعی عددی هست که مضرب5[SUP]n[/SUP] باشد و هیچکدام از ارقامش صفر نباشد .

Dadgarnia · 1393/5/29

پاسخ : سوالات ازمایشی برای امادگی م2

math1998 گفت

ابتدا چند تا لم رو ثابت مي كنيم:
لم ١:

$\sin x<x \forall x\in (0,\frac{\pi}{2})$

اثبات:

$f(x)=x-\sin x\Rightarrow f'(x)=1-\cos x>0\Rightarrow f(x)>f(0)=0$

لم ٢:

$\cos x+\frac{1}{2}x^2> 1 \forall x\in (0,\frac{\pi}{2})$

اثبات:

$f(x)=\cos x +\frac{1}{2}x^2-1\Rightarrow f'(x)=-\sin x+x>0\Rightarrow f(x)>f(0)=0$

لم ٣:

$\sin x>x-\frac{x^3}{6} \forall x\in (0,\frac{\pi}{2})$

اين لم هم مانند لم هاي قبل اثبات مي شود
ابتدا حكم را براي سه ضلعي منتظم ثابت مي كنيم. واضح است كه طول هر ضلع اين سه ضلعي

$\frac{2}{\sqrt[4]3{}}$

مي باشد پس ما مي توانيم مستطيلي به طول

$\frac{2}{\sqrt[4]{3}}$

و عرض

$\sqrt[4]{3}$

در نظر بگيريم كه اين سه ضلعي مي تواند درون آن قرار بگيرد. حالا فرض كنيد

$n\geq 4$

باشد. مي دانيم كه مساحت هر

$n$

ضلعي منتظم برابر است با

$\frac{r^2n\sin \frac{2\pi}{n}}{2}$

كه

$r$

شعاع دايره ي محيطي است پس داريم:

$\frac{r^2n\sin \frac{2\pi}{n}}{2}=1\Leftrightarrow r=\sqrt{\frac{2}{n\sin \frac{2\pi}{n}}}\Leftrightarrow 2r=2\sqrt{\frac{2}{n\sin \frac{2\pi}{n}}}$

پس مستطيلي به اضلاع

$2\sqrt{\frac{2}{n\sin \frac{2\pi}{n}}}$

و

$\sqrt{\frac{n\sin \frac{2\pi}{n}}{2}}$

در نظر مي گيريم حالا كافي است ثابت كنيم:

$\sqrt{\frac{n\sin \frac{2\pi}{n}}{2}}\geq 2\sqrt{\frac{2}{n\sin \frac{2\pi}{n}}}\Leftrightarrow \frac{n\sin \frac{2\pi}{n}}{2}\geq \frac{8}{n\sin \frac{2\pi}{n}}\Leftrightarrow \sin \frac{2\pi}{n}\geq \frac{4}{n}$

براي

$n=4$

كه حكم برقرار مي باشد پس فرض مي كنيم

$n\geq 5$

كه نتيجه مي دهد

$0< \frac{2\pi}{n}< \frac{\pi}{2}$

پس طبق لم ٣ كافي است ثابت كنيم:

$\frac{2\pi}{n}-\frac{4\pi^3}{3n^3}> \frac{4}{n}\Leftrightarrow 3n^2\pi-2\pi^3> 6n^2\Leftrightarrow 3n^2(\pi -2)> 3n^2> 2\pi^3$

براي اثبات رابطه ي آخر توجه مي كنيم كه

$2\pi^3< 64$

و

$3n^2\geq 75$

و اثبات تمام است.

mohamadreza salehi · 1393/5/31

پاسخ : سوالات ازمایشی برای امادگی م2

math1998 گفت

برای سوال دو میتونی این حکم قوی تر رو با استقرا اثبات کنی که البته سوال تو حیلی ساده تره .اما گفتم که حکم قوی ترشم بگم :برای هر n طبیعی عددی هست مضرب 5[SUP]n[/SUP] که همه ی ارقامش فردند

math1998 · 1393/5/31

پاسخ : سوالات ازمایشی برای امادگی م2

mohamadreza salehi گفت

ببخشید ننوشتم باید ثابت کنید یه عدد n رقمی همچین شرطیو داره .

mohamadreza salehi · 1393/5/31

پاسخ : سوالات ازمایشی برای امادگی م2

سوال سخت و صد البته طولانیه .منم چون از ادمای نویسنده نیستم فقط میگم استقرا.اما حالا شاید یه وقت کاملش کردم

سوالات ازمایشی برای امادگی م2

math1998

New Member

Dadgarnia

New Member

mohamadreza salehi

New Member

math1998

New Member

mohamadreza salehi

New Member