سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

AHZolfaghari · 1394/6/15

با سلام خدمت همه دوستان.
این تاپیک برای قرار دادن سوالات دوره هستش .......
من سعی می کنم سوالات رو این جا قرار بدم ..... البته به من حق بدید خیلی سریع نتونم این کارو بکنم ..چون هنوز هم امتحانات تموم نشده .....اما سعیم بر اینه که سریع تر بذارم
و از همه رفقا التماس دعا دارم !!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوالات امتحان نظریه اعداد :

1- ثابت کنید بی نهایت عدد طبیعی n وجود دارد بطوریکه نتوان انرا به صورت جمع دو عدد با عوامل اول کمتر از 1394 نوشت .

2-

$M_0$

مجموعه ای متناهی از اعداد طبیعی است . علی در هر مرحله عضوی از

$M_{n-1}$

مانند

$b_n$

بر می دارد و به وسیله آن

$M_n$

را می سازد.
ثابت کنید مرحله ای فرامی رسد که برای مجموعه ، هیچ یک از اعضای آن دیگری را عاد نمی کند .

3-

$\left \{ b_1,b_2,...,b_{\frac{p-1}{2}} \right \}$

را مجموعه همگی مانده های مربعی به پیمانه p در نظر بگیرید . فرض کنید a,c دو عدد طبیعی اند بطوری که نسبت به p اول اند و p نیز عدد اول فرد است . ثابت کتید حداقل یکی از اعداد مجموعه زیر نیز مانده مربعی است .

$\left \{ ab_1+c , ab_2+c,...,ab_{\frac{p-1}{2}}+c \right \}$

4-

$a,b,c,d,k,l,N$

اعداد طبیعی اند . فرض کنید به ازای هر

$n>N$

می دانیم عوامل اول دو عدد

$n^l + a^n + c$

و

$n^k + b^n + d$

یکی هستند . ثابت کنید

$k=l , a=b , c=d$

5-

$p>30$

یک عدد اول است . ثابت کنید یکی از اعداد زیر را می توان بصورت جمع دو مربع کامل نوشت .

$p+1 , 2p+1 , 3p+1 , ... , (p-3)p+1$

AHZolfaghari · 1394/6/18

پاسخ : سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

سوالات امتحان جبر :
1- اعداد x,y,z اعدادی حقیقی اند بطوری که x+y+z = xyz .
ثابت کنید

$\sum (\frac{x^2-1}{x})^2 \geq 4$

2- ثابت کنید توابع f,g از اعداد حقیقی به خودش وجود ندارند بطوری که

$f(x^2+g(y))-f(x^2)+g(y)-g(x) \leq 2y$

(البته این سوال دو قسمتی بود ..... قسمت الف میگفت اگه برابر باشه ثابت کنید و قسمت ب میگفت اگه کوچک تر مساوی باشه ثابت کنید .... که وسط امتحان به ما اینو گفتند ...... یعنی اول امتحان فقط حالتی که دوتا برابر باشند رو به ما داده بودند ... )

TheOverlord · 1394/6/18

پاسخ : سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

AHZolfaghari گفت

تو این سوال p>5 هستش.

Dadgarnia · 1394/6/18

پاسخ : سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

AHZolfaghari گفت

سوال دو شرط

$f(x)\geq x^2$

رو هم داره.
3- آیا چند جمله ای تحویل ناپذیر دو متغیره مثل

$f(x,y)\in \Bbb{Q}\left [ x,y \right ]$

وجود دارد به طوریکه فقط چهار ریشه ی

$(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)$

را روی دایره واحد داشته باشد؟
4- در چند جمله ای

$p(x)\in \Bbb{C}\left [ x \right ]$

برای هر

$z$

مختلط که

$|z|=1$

داریم

$p(z)\in \Bbb{R}$

. ثابت کنید

$p(x)$

ثابت است.
5- همه چند جمله ای های

$p(x)\in \Bbb{R}\left [ x \right ]$

را بیابید به طوریکه برای هر

$x\in \Bbb{R}$

داشته باشیم

$p(5x)^2-3=p(5x^2+1)$

و
1)

$p(0)\neq 0$

2)

$p(0)=0$

6-

$a_1,a_2,\cdots a_n$

اعداد حقیقی و مثبت هستند به طوریکه

$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}=n$

ثابت کنید

$\sum_{1\leq i<j\leq n} \left(\frac{a_i-a_j}{a_i+a_j}\right)^2\le\frac{n^2}{2}\left(1-\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}a_i}\right)$

AHZolfaghari · 1394/6/18

پاسخ : سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

TheOverlord گفت

بله ! درسته ! چون برگه ها رو می گیرن ازمون ، صرفا سوالات رو از روی حضور ذهن می نویسیم احتمال خطا هست !

Dadgarnia · 1394/6/18

پاسخ : سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

برای سوال دو این راه درسته؟

$2y\geq f(x^2+g(y))-f(x^2)+g(y)-g(x)\geq (x^2+g(y))^2-f(x^2)+g(y)-g(x)$

$\Rightarrow 0\geq g(y)^2+(2x^2+1)g(y)+x^4-g(x)-f(x^2)-2y$

$\Rightarrow 0 \leq \Delta=4g(x)+4f(x^2)+4x^2+8y+1$

خب حالا کافیه y رو به حد کافی کوچیک کنیم تا به تناقض برسیم.

pedramht · 1394/6/19

پاسخ : سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

سوالات هندسه رو میذاری

AHZolfaghari · 1394/6/20

پاسخ : سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

pedramht گفت

Community - Art of Problem Solving

سوالات امتحانات دوره تابستانه سی و سومین دوره المپیاد ریاضی - تابستان 94

AHZolfaghari

Well-Known Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

TheOverlord

New Member

Dadgarnia

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member

pedramht

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member