سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

AHZolfaghari · 1393/6/25

سوالات آزمون جبر :
سوال دو : تمامی توابع پیوسته f از اعداد حقیقی نامنفی به خودش را بیابید که :

$f(xf(y))+f(f(y))=f(x)f(y)+2$

سوال چهار :
a,b,c اعدادی مثبت هستند بطوریکه

$a+b+c+ab+bc+ca=3$

ثابت کنید

$2 \leq a+b+c+abc\leq 3$

این پست به روزرسانی خواهد شد !

باتشکر از آقای بهروز و آقای پویا

طبیعتا هر کی سوالی رو میدونه اینجا لطفا بذاره !!!

math1998 · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

AHZolfaghari گفت

$f(0)=c,f(1)=a$

$(1)$

$p(0,y)\Rightarrow c+f(f(y))=cf(y)+2\Rightarrow f(f(y))=cf(y)-c+2$

$p(1,y)\Rightarrow 2f(f(y))=af(y)+2(2)$

$(1),(2)\Rightarrow 2cf(y)-2c+2=af(y)(3)$

$(3)\Rightarrow y=0\Rightarrow 2c^2-2c+2=ac{\color{Red} (4)}$

$(3)\Rightarrow y=1\Rightarrow 2ac-2c+2=a^2{\color{Red} (5)}$

با حل معادلات

${\color{Red} (4),(5)}$

داریم

$c=1,a=2$

که با جایگذاری و ادامه دادن حل مسئله داریم

$f(x)=x+1$

که صدق هم میکنه اگه راه حل کافی نیست بقیش هم بنویسم !!!

AHZolfaghari · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

math1998 گفت

من فکر نمی کنم همین جوری بشه رسید به x+1 . راخ حلتو بنویس به نظر من !

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

math1998 گفت

من فکر نمی کنم همین جوری بشه رسید به x+1 . راخ حلتو بنویس به نظر من !
بعدشم حل معادله چهار و پنج فقط میگه یکی دو برابر دیگری است

math1998 · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

AHZolfaghari گفت

وقتی یکی 2 بربر دیگری باشه از معادله 4 بدست میاد c=1 , a=2 راه حل رو مینویسم تا چند دقیقه دیگه .

REZA 73 · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

AHZolfaghari گفت

سوال 4 با لاگرانژ راحت حل میشه:

$1+ac=\lambda \left ( 1+a+c \right )$

$1+bc=\lambda \left ( 1+b+ c\right )$

$1+ab=\lambda \left ( 1+a+b \right )$

حالا نتیجه میشه:

$\left ( b-a \right )\left ( c^2+c-1 \right )=0$

$\left ( a-c \right )\left ( b^2+b-1 \right )=0$

$\left ( b-c \right )\left ( a^2+a-1 \right )=0$

که نتیجه میشه a=b=c
از طرفی باید شرایط مرزی رو هم چک کنیم.اگر دوتا از متغیرها 0 باشند که حکم بدیهیه. اگه یکی هم صفر باشه باز هم ساده است:

$2\leq a+b+ab\leq 3$

فرض خلف:

$2> a+b\Rightarrow 1> ab\Rightarrow 3> a+b+ab$

اون سمت نامساوی هم که دیگه بدیهیه.

math1998 · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

AHZolfaghari گفت

عجیبه تابعش اصلا متقارن نیست اما هرچی میذارم بدیهی میشه احتمالا با توجه به رابطه

$f(f(x))=f(x)+1$

و استقرا رو طبیعیا اثبات کنیم .

$x\in \mathbb{N},f(x)=x+1\Rightarrow p(\frac{1}{x+1},x)\Rightarrow p(\frac{1}{x})=1+\frac{1}{x}$

$p(\frac{1}{x},y)\Rightarrow f(\frac{y}{x})=\frac{y}{x}+1$

فقط میمونه واسه اونایی که گویا نیستن که با پیوستگی میشه :
برای عدد گنگ

$k$

فرض کنیم دو عدد گویای

$a,b$

بی نهایت بار به ان نزدیک باشند

$\lim_{a\rightarrow k}f(a)=\lim_{b\rightarrow k}f(b)=k+1=f(k)$

این اخر رو یادم رفته بود که Dadgarnia@ اشاره کردن .

Dadgarnia · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

AHZolfaghari گفت

سوال دو:تعريف مي كنيم

$g(x)=f(x)-1$

پس (g(x هم پيوسته است و دامنه اش هم اعداد نامنفي و بردش اعداد بزرگتر مساوي 1- . با جايگذاري اين رابطه در صورت سوال داريم:

$g(xg(y)+x)+g(g(y)+1)=g(x)g(y)+g(x)+g(y)+1$

رابطه ي بالا را

$P(x,y)$

نامگذاري مي كنيم پس داريم:

$P(0,x),P(1,x)\rightarrow 2g(0)g(x)+2g(x)+2=g(1)g(x)+g(1)+g(x)+1\Rightarrow g(x)(g(1)-2g(0)-1)=1-g(1)$

واضح است كه g ثابت نيست پس بايد داشته باشيم

$g(0)=0,g(1)=1$

با توجه به روابط به دست آمده داريم:

$P(0,x)\rightarrow g(g(x)+1)=g(x)+1$

با استفاده از اين رابطه و به طور استقرايي مي توانيم بدست بياوريم

$g(x)=x$

براي هر عدد صحيح نامنفي. از طرفي با جايگذاري اين رابطه در (P(x,y داريم:

$g(xg(y)+x)=g(x)g(y)+g(x)$

فرض كنيد p,q دو عدد صحيح نامنفي باشند كه q يك نيست. در رابطه ي بالا قرار مي دهيم

$x=\frac{p}{q},y=q-1$

كه بدست مي آيد:

$g(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}$

پس براي همه ي اعداد گويا ي نامنفي ثابت شد

$g(x)=x$

حالا با توجه به پيوستگي g براي هر عدد حقيقي نامنفي نتيجه مي گيريم

$f(x)=x+1$

math1998 گفت

بله فقط كافيه دو عدد گوياي p,q رو از چپ و راست به عدد حقيقي دلخواه r اينقدر نزديك كنيم كه بازه ي

$[p,q]$

به حد كافي كوچيك باشه.
سوال چهار: فكر كنم صورت درست سوال اعداد نامنفي باشه. فرض كنيد

$c=0$

باشه پس داريم:

$3=a+b+ab\geq ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq 1$

كه طرف چپ نامساوي رو نتيجه ميده و و طرف راست هم كه واضحه. حالا فرض كنيد

$a\geq b\geq c> 0$

پس داريم:

$3=a+b+c+ab+bc+ca\geq 3c^2+3c\Rightarrow c\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}< 1$

$a+b+c+abc\leq 3\Leftrightarrow abc\leq ab+bc+ca\Leftrightarrow ab(1-c)+bc+ca\geq 0$

كه صحيح است. حالا طرف چپ رو اثبات مي كنيم. مانند قبل مي توانيم نتيجه بگيريم

$a\geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

پس داريم:

$a+b+c+abc\geq a+abc+4\sqrt{5}-6-\frac{\sqrt{5}-1}{2}bc\geq a+4\sqrt{5}-6\geq \frac{9\sqrt{5}-13}{2}> 2$

AHZolfaghari · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

REZA 73 گفت

ببخشید کلا چیکار کردید ؟؟؟؟
اولشو نفهمیدم اصلا

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia گفت

با میکسینگ هم حل میشه

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia گفت

با میکسینگ هم حل میشه

REZA 73 · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

کلا کاری نکردم. از روش لاگرانژ استفاده کردم.اگه حکم و شرط مساله رو تابع در نظر بگیریم اونوقت در نقاط بحرانی تابع مشتق تابع حکم نست به a برابر ضریبی از مشتق تابع شرط نسبت به a هست. این در مورد b و c هم برقراره و در ضمن اون ضریبه هم ثابته برای هر سه متغیر.
از طرفی نقاط مرزی هم ( مثلا یکی رو صفر بذاریم) نقاط بحرانی هستند. با بررسی نقاط بحرانی کوچکترین میشه min تابع و بزرگترین میشه max تابع.

در کتاب استراتژی های جبر در المپیاد ریاضی نوشته محمد جعفری کاملا توضیح داده شده این روش.

TheOverlord · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

Dadgarnia گفت

سوال دو:تعريف مي كنيم

$g(x)=f(x)-1$

پس (g(x هم پيوسته است و دامنه اش هم اعداد نامنفي و بردش اعداد بزرگتر مساوي 1- . با جايگذاري اين رابطه در صورت سوال داريم:

$g(xg(y)+x)+g(g(y)+1)=g(x)g(y)+g(x)+g(y)+1$

رابطه ي بالا را

$P(x,y)$

نامگذاري مي كنيم پس داريم:

$P(0,x),P(1,x)\rightarrow 2g(0)g(x)+2g(x)+2=g(1)g(x)+g(1)+g(x)+1\Rightarrow g(x)(g(1)-2g(0)-1)=1-g(1)$

واضح است كه g ثابت نيست پس بايد داشته باشيم

$g(0)=0,g(1)=1$

با توجه به روابط به دست آمده داريم:

$P(0,x)\rightarrow g(g(x)+1)=g(x)+1$

با استفاده از اين رابطه و به طور استقرايي مي توانيم بدست بياوريم

$g(x)=x$

براي هر عدد صحيح نامنفي. از طرفي با جايگذاري اين رابطه در (P(x,y داريم:

$g(xg(y)+x)=g(x)g(y)+g(x)$

فرض كنيد p,q دو عدد صحيح نامنفي باشند كه q يك نيست. در رابطه ي بالا قرار مي دهيم

$x=\frac{p}{q},y=q-1$

كه بدست مي آيد:

$g(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}$

پس براي همه ي اعداد گويا ي نامنفي ثابت شد

$g(x)=x$

حالا با توجه به پيوستگي g براي هر عدد حقيقي نامنفي نتيجه مي گيريم

$f(x)=x+1$

بله فقط كافيه دو عدد گوياي p,q رو از چپ و راست به عدد حقيقي دلخواه r اينقدر نزديك كنيم كه بازه ي

$[p,q]$

به حد كافي كوچيك باشه.
سوال چهار: فكر كنم صورت درست سوال اعداد نامنفي باشه. فرض كنيد

$c=0$

باشه پس داريم:

$3=a+b+ab\geq ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq 1$

كه طرف چپ نامساوي رو نتيجه ميده و و طرف راست هم كه واضحه. حالا فرض كنيد

$a\geq b\geq c> 0$

پس داريم:

$3=a+b+c+ab+bc+ca\geq 3c^2+3c\Rightarrow c\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}< 1$

$a+b+c+abc\leq 3\Leftrightarrow abc\leq ab+bc+ca\Leftrightarrow ab(1-c)+bc+ca\geq 0$

كه صحيح است. حالا طرف چپ رو اثبات مي كنيم. مانند قبل مي توانيم نتيجه بگيريم

$a\geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

پس داريم:

$a+b+c+abc\geq a+abc+4\sqrt{5}-6-\frac{\sqrt{5}-1}{2}bc\geq a+4\sqrt{5}-6\geq \frac{9\sqrt{5}-13}{2}> 2$

آيا از راه حلتان اطمينان داريد؟ زيرا ميتوانيم c را به طور حدي به صفر نزديك كنيم ولي هيچگاه به آن نرسد، در اين صورت هر اندازه كه بخواهيم ميتوانيم به حالت تساوي كه همان (1,1,0) است نزديك شويم و فرض شما هم درست ميماند، اما شما نابرابري اكيد را ثابت كرده ايد!
اگر ممكن است كمي بيشتر در مورد نامساوي اول خط آخر توضيح ميدهيد؟

aras2213 · 1393/6/26

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوال 3:

$p(z),q(z)$

چندجمله هایی با ضرایب حقیقی هستند که برای هر z که مختلط باشد

$p(z)q(\overline{z})$

مقداری حقیقی است.ثابت کنید q مضربی حقیقی از p است.(25 امتیاز)
سوال 2(15 امتیاز)
سوال 4(20 امتیاز)

math · 1393/6/27

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

aras2213 گفت

سوال 5 رو هم میتونید از این جا ببینید . AoPS Forum - Good polynomials • Art of Problem Solving

25 امتیاز داشت .

نکته 1 : به طور کلی فکر کنم بد ترین امتحان مرحله 3 همین جبرش بود . سوالات مشابه اینا قبلا توی خود ایران بوده ! برای مثال سوال بالا رو اقای جلالی لینک سوال مشابهش رو دادن . یا سوالی که ارس گذاشته یکی از سوالای مرحله 3 سال 2006 یا 2007 شباهت خیلی زیادی داره باهاش !

نکته 2 : طراح سوال 1 اقای صلواتی و بقیه سوالات اقای احمدی هستند . ( سوال 3 یک روز قبل از امتحان طرح شده بوده !!!)

نکته 3 : اینا که فقط سوالای جبرن !! لطفا یکی کل سوالات رو توی ml هم بذاره . ( اگر کسی حال این کار رو داره ولی سوالات رو نداره بگه من سوالات رو براش ایمیل کنم . )

Dadgarnia · 1393/6/27

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

aras2213 گفت

فرض می کنیم

$z=r(\cos \theta+i\sin \theta),p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,q(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i$

پس داریم:

$p(z)q(\bar{z})=(\sum_{j=0}^{n}a_jr^j(\cos (j\theta)+i\sin(j\theta)))((\sum_{j=0}^{m}a_jr^j(\cos (j\theta)-i\sin(j\theta))))$

می دانیم که

$(r^j(\cos (j\theta)+i\sin(j\theta)))(r^k(\cos (k\theta)-i\sin(k\theta)))=r^{j+k}(\cos ((j-k)\theta)+i\sin((j-k)\theta))$

پس برای حقیقی شدن عبارت بالا باید داشته باشیم:

$\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=0}^{m}a_jb_kr^{j+k}\sin((j-k)\theta)=0$

پس چند جمله ای بالا بی نهایت ریشه دارد پس باید تمام ضرایبش صفر باشد و می دانیم

$a_nb_m\neq 0$

پس

$m=n$

است و داریم:

$a_1b_0-a_0b_1=0\Rightarrow \frac{a_0}{b_0}=\frac{a_1}{b_1}$

و به همین ترتیب می توانیم بدست بیاوریم

$\frac{a_0}{b_0}=\frac{a_1}{b_1}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$

که حکم را نتیجه می دهد.

math · 1393/6/27

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

Dadgarnia گفت

ببخشید قسمت های حقیقی نمیتونن در قسمت موهومی ضرب شن ؟

Dadgarnia · 1393/6/27

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

math گفت

منظورتونو متوجه نمی شم من اومدم

$p(z)q(\bar{z})$

رو به شکل

$a+ib$

در آوردم که a,b حقیقین پس برای حقیقی شدن باید ضریب i صفر باشه.

math · 1393/6/27

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

Dadgarnia گفت

فکر میکنم دو عبارت رو به صورت اشتباهی ضرب کردید . :3:

Dadgarnia · 1393/6/27

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

math گفت

نتیجه ی اشتباهی گرفتم؟ راه حلمو که اون بالا نوشتم بگید کجاشو اشتباه ضرب کردم چون به نظر خودم که درست میاد.

AHZolfaghari · 1393/6/28

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

سوالات کامل آزمون جبر :

AoPS Forum - Iranian 3rd round Algebra exam • Art of Problem Solving

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

صورت فارسی سوال یک :
یک مثلث متساوی الاضلاع داریم با شعاع دایره محیطی یک.
یه نقطه توش داریم به نام P
نقطه P رو جوری معین کنید که اگه یه دایره بزنیم به مرکز P و شعاع یک ، مجموع قسمت هایی از اضلاع مثلث که داخل دایره هستند حداکثر شه . ( اضلاع رو امتداد دادیم در واقع . امتدادشون رو هم قطع کنه حساب میشه ) راهنمایی مجموع فواصل p از سه ضلع مثلث متساوی الاضلاع ثابت است

سوال5 : میگه یه چندجمله ای با ضرایب حقیق رو میگیم خوبه اگه

$p(x,y)=p(xy,\frac{1}{y})$

. میگه اثبات کنید چند جمله ای های خوب r,s با ضرایب حقیقی وجود دارند که به ازای هر چندجمله ای خوب p ، چندجمله ای با ضرایب حقیقی f وجود داشته باشه که

$p(x,y)=f(r(x,y),s(x,y))$

@Dadgarnia

Dadgarnia · 1393/6/29

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

AHZolfaghari گفت

سوال يك:
مي دونيم مجموع فاصله هاي يك نقطه درون مثلث متساوي الاضلاع از اضلاع مثلث برابر با ارتفاع مثلث است. پس فرض كنيد فاصله ي نقطه ي p از اضلاع مثلث برابر با a,b,c باشه. پس طول يك قسمت از ضلع هاي مثلث متساوي الاضلاع كه داخل دايره است برابره با

$2\sqrt{1-a^2}$

پس ما بايد حداكثر عبارت

$2\sum \sqrt{1-a^2}$

با شرط

$a+b+c=\frac{3}{2}$

را بيابيم. ثابت مي كنيم اين مقدار برابره با

$3\sqrt{3}$

. با استفاده از نامساوي واسطه ي حسابي-مربعي داريم:

$(\frac{\sum 2\sqrt{1-a^2}}{3})^2\leq \frac{\sum 4(1-a^2)}{3}\leq 3\Leftrightarrow 3\leq 4\sum a^2\Leftrightarrow \frac{4}{3}(\sum a^2+2\sum ab)\leq 4\sum a^2\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\geq 0$

كه بديهي است. پس نقطه ي p همان مركز دايره ي محيطي است.

math · 1393/6/29

پاسخ : سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

Dadgarnia گفت

راه حلتون کاملا درست نیست !!! ممکنه دایره تنها دو ضلع رو قطع کنه !

سوالات مرحله سوم سی و دومین المپیاد ریاضی ایران 92-93

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

Well-Known Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member