سوال قشنگ تابع

mimilad · 1390/4/12

همه ی توابع با برد و دامنه اعداد صحیح را بیابید که :

$f(x+y+f(y))= f(x)+ 2y$

از بچه ها هم میخواهم که سوال هندسه و نطریه اعداد و ترکیبیات هم توی سایت قرار بدن .

amir.ekhlasi · 1390/4/13

پاسخ : سوال قشنگ تابع

سؤال قشنگی بود. اینطوری حل میشه:
اولا این تابع یک به یک است. زیرا اگر

$f(x)=f(y)$

، آنگاه

$f(x)+2y=f(x+y+f(y))=f(y+x+f(x))=f(y)+2x \Rightarrow x=y$

ثانیا داریم

$f(x+f(0))=f(x)$

. پس به خاطر یک به یک بودن تابع داریم

$f(0)=0$

. و د نتیجه

$f(y+f(y))=2y$

. ابتدا چند گزاره مهم را ثابت میکنیم:
1. اگر

$f(x)=x$

، آنگاه به ازای هر عدد صحیح

$k$

،

$f(kx)=kx$

. برای

$k=0,1$

که واضح است. برای

$k>1$

استقرا میزنیم. داریم:

$f(kx)=f((k-2)x+x+f(x))=f((k-2)x)+2x=kx$

همچنین داریم

$f(x)=f(-x + x + f(x))=f(-x)+2x\Rightarrow f(-x)=-x$

پس گزاره درست است.
نتیجه: اگر

$f(1)=1$

، آنگاه

$f(x)=x$

.
گزاره 2:

$f(2x)=2x$

، آنگاه

$f(x)=x$

. دوباره از رابطه

$f(x+f(x))=2x$

و از یک به یک بودن تابع، این حکم ثابت میشود.
گزاره 3: اگر

$x,y$

دو عدد فرد باشند و

$f(x)=x,f(y)=y$

. آنگاه اگر

$k=(x,y)$

، آنگاه

$f(k)=k$

. برای اثبات این حکم، طبق قضیه بزو اعداد صحیح

$a,b$

وجود دارند که

$ax+by=k$

. همچنین یکی از این دو عدد زوج است. مثلا فرض کنید

$a=2c$

. در اینصورت داریم:

$f(k)=f(by+2cx)=f(by+cx+f(cx))=f(by)+2cx=by+2cx=k$

.
فرض کنید

$A=\{k \in \mathbb{Z} : f(k)=k \}$

. در اینصورت مسئله را در دو حالت بررسی میکنیم:
حالت 1:

$A=\{0\}$

. داریم

$f(2x+f(x))=f(x)+2x$

. در نتیجه

$2x+f(x)=0$

. یعنی

$f(x)=-2x$

.
حالت دوم:

$A \not = \{0\}$

. در این حالت فرض کنید

$n$

کوچکترین عدد مثبت عضو

$A$

باشد. طبق گزاره 2،

$n$

فرد است. فرض کنید

$B$

مجموعه تمام ضرایب صحیح

$n$

باشد. در اینصورت ادعا میکنیم

$A=B$

. فرض کنید چنین نباشد و عدد صحیحی مانند

$m$

وجود داشته باشد که عضو

$A$

باشد ولی عضو

$B$

نباشد. در اینصورت طبق گزاره 3 داریم

$(m,n) \in A$

و

$(m,n) <n$

که این با مینیمم بودن

$n$

در تناقض است. پس ادعای ما درست است. این به این مفهوم است که به زای هر عدد صحیح

$x$

،

$2x+f(x) \in B$

. یعنی

$f(x) \equiv -2x \ \ (mod \ \ n)$

. اما به ازای هر دو عدد صحیح

$x,y$

داریم

$2(x-y)\equiv f(x-y)\equiv f(x+y+f(y))\equiv f(x)+2y\equiv 2(y-x) \ \ (mod \ \ n)$

اما این وقتی ممکن است که

$n=1$

. پس طبق نتیجه گزاره 1،

$f(x)=x$

.

amir.ekhlasi · 1390/4/13

پاسخ : سوال قشنگ تابع

تهش را صوتی دادم. بذارید درستش میکنم.

سوال قشنگ تابع

mimilad

New Member

amir.ekhlasi

New Member

amir.ekhlasi

New Member