سوال نامساوی سخت

goodarz · 1390/10/17

بعد از مدت ها گفتم یه نامساوی بذارم....

فرض کنید

$a,b,c$

اعدادی حقیقی و نامنفی باشند که هیچ دوتایی صفر نیستند. ثابت کنید:

$\frac{(b+c)^2}{a^2+bc}+\frac{(c+a)^2}{b^2+ca}+\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

Darij Grinberg

mahanmath · 1390/10/17

پاسخ : سوال نامساوی سخت

سخت نیستا ! حداقل ۳ تا راه سرراست داره :
۱-کشی روی

$\sum \frac{(b+c)^4}{(b+c)^2 (a^2 +bc)}$

۲-شور تابع ای‌‌
۳- SOS (

$c= \min(a,b,c) \, , \, a^2 S_b + b^2 S_c \geq 0$

)

goodarz · 1390/10/17

پاسخ : سوال نامساوی سخت

خوب اینم بعدی:

فرض کنید

$x_1,x_2,...,x_n$

اعدادی حقیقی باشند که

$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1$

. اگر

$n\ge 3$

ثابت کنید:

$\sum_{i=1}^{n} x_i^3+\frac{6}{(n-2)(\sqrt{n}+1)}\sum_{1\le i<j<k\le n}x_ix_jx_k \le 1$

Vasile Cirtoaje

mahanmath · 1390/10/17

پاسخ : سوال نامساوی سخت

goodarz گفت

غیر ev راه دیگه ای‌‌ داری واسش ؟

goodarz · 1390/10/18

پاسخ : سوال نامساوی سخت

آره! کوشی!

goodarz · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

خب کسی ایده ای واسه این سواله نداره؟ البته بدون چیزایی مثل ev,sos,smv,abc,uvw,umv,igi,gmv,.....که من اصلا ازشون خوشم نمیاد!

fereidoon · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

يه سوال،abc چيه؟!

seyed iman · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

ev,sos,smv,abc,uvw,umv,igi,gmv,..... کلن چی هستن؟؟
چرا از اینا بدتون میآد؟؟مگه چیکار کردن؟
کوشی مگه اسم یه آدم نیست."کوشی بزنیم" یعنی چی؟

fereidoon · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

اينا همشون مخفف اسم يه روش توي حل نامساوي هستن،كوشي زدن هم استعاره از "اجراي نابرابري كوشي-شوارتز" است!

hh1546 · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

fereidoon گفت

ربطی به نامساوی ها نداره یه حدس تو نظریه اعداده
حدس abc (حدس زده شده در سال 1985): برای هر

تنها متناهی سه تایی طبیعی

نسبت به هم اول وجود دارد که

و

باشد.
تعریف:

برابر ضرب عوامل اول متمایز

است.در واقع قسمت خالی از مربع

است.
لینک منبع:اینجا

hh1546 · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

hh1546 گفت

ببخشید من ندیده بودم گودرز گفته abc یه تکنیک نامساویه
راستی کسی میدونهev,abc,umv,igi,gmv هرکدوم چیه؟

fereidoon · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

اينجا:http://www.irysc.com/forum/t5834/#post77174 استادماهان،در مورد بعضياشون لينك داده.

goodarz · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

hh1546 گفت

اینا هر کدومشون مخفف یه روش هستن:

EV=Entirely mixing Variables

ABC=ABstract Concreteness method

UMV=Undefined Mixing Variables

IGI=Inequality General Induction

GMV=General Mixing Variables

goodarz · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

حالا اینارو بیخیال, واسه سوال اصلی ایده ای دارین؟

mahanmath · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

من ایده دارم ، یعنی‌ حل دارم ...?؟

CS :

$\sum_{i=1}^{n} {x_i} ^3 + 3M \sum_{i<j<k}^{ } x_i x_j x_k = \sum_{i=1}^{n} x_i (x_i^2 + M \sum_{l,k \neq i}^{ } x_{l} x_{k}) \leq \sqrt{\left (\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right ) .\left [\sum_{i=1}^{n} \left ( x_i^2 +M \sum_{l,k \neq i}^{ } x_{l} x_{k} \right ) ^2 \right ]}$

پس کافیه نشون بدیم

$\sum_{i=1}^{n} \left ( x_i^2 +M \sum_{l,k \neq i}^{ } x_{l} x_{k} \right ) ^2 \leq \left (\sum_{i}^{n} x_i^2 \right ) ^2$

بعد از بسط دادن تبدیل می‌شه به این

$(2-M^2 (n-2))\sum_{i<j}^{ } (x_i x_j)^2 \geq$

$6M^2 (n-4) \sum_{i<j<k<l}^{ } x_i x_j x_k x_l + (2M^2 (n-3)+2M) \sum_{i=1}^{n} \left (x_i^2 \sum_{k,l \neq i}^{ }x_k x_l \right )$

اینم حسابی‌ هندسیه ! :196:

goodarz · 1390/10/20

پاسخ : سوال نامساوی سخت

آفرین! راه حلی هم که من واسش دیده بودم هم تقریبا شبیه این بود :41:

سوال بعدی رو فردا (اگه زنده رسیدم خونه!) میذارم, بعدی هم سوال جالبیه! (به این میگن بازارگرمی!)

goodarz · 1390/10/21

پاسخ : سوال نامساوی سخت

خب اینم سوال بعد:

ثابت کنید برای همه اعداد حقیقی و مثبت

$a_1,a_2,...,a_n$

نامساوی زیر برقرار است:

$\sum_{k=1}^{n}a_k^{\frac{k}{k+1}}\le \sum_{k=1}^{n}a_k+\sqrt{\frac{2(\pi^2-3)}{9}\sum_{k=1}^{n}a_k}$

Vo Quoc Ba Can

من که این سوالو دیدم رفتم فضا! شما چطور؟

goodarz · 1390/10/21

پاسخ : سوال نامساوی سخت

ضمنا اگه تونستید حالت تساویاشم پیدا کنید!

mahanmath · 1390/10/21

پاسخ : سوال نامساوی سخت

تنها راهنمایی سوال اینه که دست استاد Can تو کاره :196: ! پس CS می‌زنیم :

تعریف کنید

$f_k(x) = \frac{x^{\frac{k}{k+1}} -x}{\sqrt{x}}$

، و فرض کنید

$\max_{x \in \mathbb R^{+}}\: f_k(x) =M_k$

(اینکه چرا این max وجود داره بدیهیه دیگه :5:!)

حالا سوال در واقع از ما خواسته که ثابت کنیم :

$\sum_{i=1}^{n} {M_i}^2 \leq \frac{2(\pi ^2 -3)}{9}$

حالا مقدار

$M_k$

رو حساب می‌کنیم ، برای راحت تر شدن کار به جای

$x$

,

$x^2$

میذاریم و مشتق میگیریم ، چون نتیجه که فرقی‌ نمی‌کنه .

$0=f'_k(x^2) = \frac{k-1}{k+1}\: x^{\frac{-2}{k+1}} - 1 \Rightarrow x= \left ( \frac{k-1}{k+1} \right )^{\frac{k+1}{2}}$

پس با جایگذاری این مقدار داریم :

$M_k = \left ( \frac{2}{k+1} \right )\left ( \frac{k-1}{k+1} \right )^{\frac{k-1}{2}}$

باقیشم با اینکه

$\zeta (2)= \frac{\pi ^2}{6}$

در میاد.

mahanmath · 1390/10/21

پاسخ : سوال نامساوی سخت

اها ، راستی‌ تساوی هم نداره ، یعنی‌ اگه مقادیر رو همون ریشه‌های مشتق اون تابع‌ها بذاریم ، بازم به این مقدار سمت راست نمیرسیم ، ولی‌ با بزرگ شدن n بهش میل می‌کنیم

(مطمئن نیستم میل کنیم البته ،چون به رفتار

$\left ( \frac{x-1}{x+1} \right )^{x-1}$

هم ربط داره که WolframAlpha چیزی دربارش نمیدونه

!)

سوال نامساوی سخت

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

Active Member

Well-Known Member

Active Member

New Member

New Member

Active Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

New Member