سوال های خوب برای بچه های خوب! (عیدی نوروز 94)

AHZolfaghari · 1393/12/29

سلام و درود به همگی بچه های خوب !
من پارسال هم این کار رو کردم ! امسال هم میکنم !
یک سری سوالات خوب میذارم که دم سال تحویل در اصطلاح حال کنید !
سوال 1 )
فرض کنید

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

تابعی باشد بطوریکه

$f(f(x))=x^2-x+1$

. مقدار

$f(0)$

رو بیابید .

سوال 2 )

مثلث

$ABC$

رو در نظر بگیرید که

$\widehat{A}=60^{\circ}$

و

$T$

نقطه فرما این مثلث است . اگر

$M$

وسط

$BC$

باشد ثابت کنید

$TA + TB + TC = 2AM$

.

سوال 3 )

معادله زیر را در اعداد صحیح نامنفی حل بفرمایید

$7^x - 2 \times 5^y=-1$

سوال 4 )

$2n$

نفر در یک مهمانی حضور دارند . تعداد دوستان هرکس در این مهمانی زوج است ( دوستی رابطه دو طرفه است ) . ثابت کنید دو نفر وجود دارند که تعداد دوستان مشترکشان در این مهمانی زوج است .

** توجه : ترتیب سوالات بر اساس سختی یا آسانی آنان نیست **

امیدوارم سال خوبی داشته باشید . برای ما هم دعا کنید !

Dadgarnia · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

AHZolfaghari گفت

آقاي ذوالفقاري سوال جايگزين هم ميذارين؟ :4:
سوال 1) فرض كنيد عبارت بالا

$P(x)$

باشه. داريم:

$P(f(x))\rightarrow f(f(x))=f(x)^2-f(x)+1$

اگه از دو طرف رابطه ي اصلي سوال f بگيريم بدست مياد:

$f(f(x))=f(x^2-x+1)$

از دو رابطه ي بدست اومده داريم:

$f(x^2-x+1)=f(x)^2-f(x)+1$

توي رابطه ي بالا به جاي x يك رو ميذاريم:

$f(1)=f(1)^2-f(1)+1\Rightarrow f(1)=1$

حالا توي همون رابطه به جاي x صفر رو ميذاريم:

$1=f(0)^2-f(0)+1\Rightarrow f(0)=0,1$

چون كه

$f(f(0))=1$

هست بدست مياد

$f(0)=1$

.

aboly · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

3-پیمانه 5 می دهد x=4k+2 , دو خط برای 5 می دهد دو خط 2k+1 برابر با y-2 است حال نامساوی بزنید جواب ها: 0و0 2و2سوال Community - Art of Problem Solving Community - Art of Problem Solving

حمید آنالیز · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

لینکتون خرابه!

Dadgarnia · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

aboly گفت

سوال اولو كه من جوابشو گذاشتم در ضمن لينك هم كار نمي كنه! سوال دوم هم كه هيچي معلوم نيست!
آقاي ذوالفقاري نقطه فرما چيه؟ :4:

aboly · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

Dadgarnia گفت

درست شد فکر کنم

Seyed Amir Hosseini · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

Dadgarnia گفت

راست میگند میشه نقطه فرما را تعریف کنید

AHZolfaghari · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

dadgarnia گفت

نقطه یکتای t داخل مثلث هست . نقطه فرما اگه t باشه اون موقع داریم atb = btc = cta = 120 .
ببینم اگه رونق پیدا کرد سوال جایگزین هم میذارم !

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال جایگزین برای سوال 1 )

اعداد حقیقی

$x,y,z$

با مجموع صفر مفروض اند . ثابت کنید :

$\sum \frac{x(x+2)}{2x^2+1}\geq 0$

سوال جایگزین سوال 3 )

عدد مخصوص

$n$

عددی است که برای آن اعداد طبیعی

$a,b,c,d$

موجود باشد که

$n = \frac{a^3 + 2b^3}{c^3 + 2d^3}$

الف ) اثبات کنید بی نهایت عدد مخصوص داریم .

ب) ثابت کنید

$2014$

یک عدد مخصوص نیست .

رفقا ، لطفا اگه سوالی رو دیدید لینک براش ندید . یا اینکه خودتون زحمت حلشو بکشید یا اینکه اجازه بدید بقیه حلشو بذارن ! البته این برای تاپیک های تالار نیست فقط برای این تاپیکه !

Seyed Amir Hosseini · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

مي دانيم زاويه ي bac ساوي شصت درجه است يعني كمان bc از دايره ي محيطي مثلث 120 درجه است. پس t مركز دايره ي محيطي مثلث است. و at و bt و ct برابر شعاع دايره ي محيطي هستند. يعني 3r از طرفي at برابر r است و چون كمان bc صد و بيست درجه است به راحتي ثابت مي شود mt نصف شعاع دايره است. پس داريم :

$\frac{at+bt + ct }{at + mt}= \frac{3r}{1.5r}=2$

بچه ها چرا اينجوري ميشه نمي دونم مشكل كجاست چون am با mt و at تشكيل مثلث مي دهد غير ممكن است ;
am=mt+at
نمي دونم مشكل كجاست خوابم هم مياد گيج شدم:225:

AHZolfaghari · 1393/12/29

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

seyedamirhosseini گفت

شما دچار اشتباه شدید . چون تو این مثلث بی نهایت نقطه مثل x وجود داره که زاویه bxc = 120 اما فقط یکی از اونها نقطه فرما است . یکی دیگه از اون ها هم مرکز دایره محیطی مثلث است و یکی دیگه از اون نقطه ها هم مرکز ارتفاعی است . برای درک بهتر این موضوع بیاید کمان bc رو نسبت به ضلع bc قرینه کنید . کمان حاصله کمانی است که هرنقطه روی اون رو که بگیرید مثل n میبینید که bnc = 120

jan123 · 1394/1/1

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

AHZolfaghari گفت

برا این سوال y,z رو مشخص نکردین

_Mobin_ · 1394/1/1

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

jan123 گفت

سیگمای دوری هست. یعنی به جای ایکس، y و z هم بذارید و با هم جمع کنید.

AHZolfaghari · 1394/1/2

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب! (عیدی نوروز 94)

خب من یه راهنمایی برای هندسه و ترکیبیاتی که اون اول گذاشتم میگم البته بصورت پنهانی !
یعنی رنگ نوشته شو سفید می کنم که هر کس خواست نگاه کنه :

سوال هندسه ) رابطه رو به توان 2 برسونید و از قضیه میانه ها استفاده کنید .

سوال ترکیبیات ) استقراء ..........

REZA 73 · 1394/1/2

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

AHZolfaghari گفت

سوال نظریه اعداد:
الف:
قرار بدید:

$c=1,d=2,a=17k+1,b=17k+2$

ب:

2014=2*19*53

$a^3+2b^3=2014(c^3+2d^3)\Rightarrow 19|a^3+2b^3$

اما چون :

$a^3\equiv 1,7,8,11,12,18(mod 19)$

$\Rightarrow 19|a ,19|b$

چون که برای هیچ دو باقیمانده ای مثل

$x,y$

نداریم:

$19|x+2y$

حالا به راحتی طبق نزول نامتناهی حکم مساله ثابت میشه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

راه حل سوال هندسه:در حقیقت باید ثابت کنیم:

$AT^2+BT^2+CT^2+2AT.BT+2AT.CT+2BT.CT=4AM^2=2b^2+2c^2-a^2$

اما طبق قضیه ی کسینوس ها داریم:

$AT^2+BT^2+AT.BT=c^2$

$BT^2+CT^2+CT.BT=a^2$

$AT^2+CT^2+CT.AT=b^2$

حالا اگه این سه مقدار رو در رابطه ی اول قرار بدیم به دست می آید که:

$BT.CT=AT^2$

که این هم بدیهی است چون مثلث های

$ABT$

و

$ACT$

با توجه به

$A=60^{\circ}$

متشابه هستند.

Seyed Amir Hosseini · 1394/1/3

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب! (عیدی نوروز 94)

سوالات جایگزین را لطفا بذارید درضمن ماراتن ها هم کلا خوابیده یه سری تاپیک برای سوالات مرحله دو هم راه بندازید لطفا:224:

Dadgarnia · 1394/1/4

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب !

AHZolfaghari گفت

نامساوی بالا هم ارزه با نامساوی زیر:

$\sum_{cyc}\frac{(2x+1)^2}{2x^2+1}\geq 3$

حالا داریم:

$x^2=(y+z)^2\leq 2y^2+2z^2\Rightarrow 2x^2+1\leq \frac{4}{3}\sum_{cyc}x^2+1$

$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{(2x+1)^2}{2x^2+1} \leq \frac{\sum_{cyc}(2x+1)^2}{\frac{4}{3}\sum_{cyc}x^2+1}=3$

REZA 73 · 1394/1/7

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب! (عیدی نوروز 94)

AHZolfaghari گفت

جواب سوال ترکیبیات:
مجموعه دوستان شخص

$A$

رو مجموعه

$\left \{ a_{1},...,a_{2k} \right \}$

در نظر بگیرید. طبق فرض هر

$a_{i }, 1\leq i\leq 2k$

تعداد فرد تا دوست به غیر از

$A$

دارند. پس اگه مجموعه دوستان هر

$a_{i },1\leq i\leq 2k$

به غیر از

$A$

رو بنویسیم کلا روی هم زوج تا عضو دارند(زوج *فرد). حالا

$2n-1$

نفر به جز

$A$

رو در نظر بگیرید. حد اقل یکشون باید در زوج تا از مجموعه ی دوستان

$a_{i },1\leq i\leq 2k$

حضور داشته باشته چون در غیر این صورت با زوج بودن کل تعداد اعضای مجموعه دوستان

$a_{i },1\leq i\leq 2k$

در تناقضه.
حال هر کدوم از اون

$2n-1$

عدد که در زوج تا از اون مجموعه ها اومده زوج تا دوست مشترک با

$A$

داره.

***شرط داشتن زوج تا دوست برای هر نفر برای این مساله الزامی نیست.***
این هم لینک مفید :

Community - Art of Problem Solving

REZA 73 · 1394/1/10

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب! (عیدی نوروز 94)

با توجه به کم شدن فعالیت ها من سوال های جایگزین رو میذارم!:91:
سوال هندسه:

$ABC$

مثلثی حاده الزاویه است و

$O$

مرکز دایره ی محیطی ان است.دایره گذرنده از

$A,B,O$

را

$S$

مینامیم.خطوط

$AC$

و

$BC$

دایره

$S$

را در

$P$

و

$Q$

قطع میکنند. ثابت کنید

$CO\perp PQ$

.

سوال ترکیبیات:
هر روز صبح اهالی شهری فردی را پیدا میکند که حداقل 2 تومان کمتر از او پول دارد و 1 تومان به او میدهد. اگر تنها از همین روش پول ها جابجا شود ثابت کنید بعد چند روز دیگر کسی به کسی پولی نمیدهد.

سوال نظریه اعداد:
ثابت کنید معادله

$a^2+b^2=c^2+3$

در مجموعه اعداد طبیعی بیشمار جواب دارد.

سوال جبر:
تابع f بر روی اعداد طبیعی تعریف شده و داریم:

$f(1)=1996$

$f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2f(n)$

مقدار

$f(1996))$

را بیابید.

m-saghaei · 1394/1/10

پاسخ : سوال های خوب برای بچه های خوب! (عیدی نوروز 94)

REZA 73 گفت

اگه بذاریم

$a=2k,b=2k^2-2,c=2k^2-1$

بینهایت جواب داره.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

REZA 73 گفت

برای n-1 داریم:

$f(1)+...+f(n-1)=(n-1)^2f(n-1)$

حالا میایم به این یه

$f(n)$

اضافه میکنیم پس داریم:

$(n-1)^2f(n-1)+f(n)=n^2f(n)\rightarrow (n-1)^2f(n-1)=(n^2-1)f(n)\rightarrow (n-1)f(n-1)=(n+1)f(n)\rightarrow f(n)=\frac{n-1}{n+1}f(n-1)$

با استقرا هم به راحتی اثبات میشه که برای هر n>1 داریم :

$f(n)=\frac{2f(1)}{n(n+1)}$

پس

$f(1996)=\frac{2*1996}{1996*1997}=\frac{2}{1997}$

سوال های خوب برای بچه های خوب! (عیدی نوروز 94)

AHZolfaghari

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member

aboly

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member

aboly

New Member

Seyed Amir Hosseini

Active Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

Seyed Amir Hosseini

Active Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

jan123

New Member

_Mobin_

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

REZA 73

Active Member

Seyed Amir Hosseini

Active Member

Dadgarnia

New Member

REZA 73

Active Member

REZA 73

Active Member

m-saghaei

New Member