ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

hkh74 · 1390/12/20

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

سوال:
در مثلث حاده الزاویه

$\triangle ABC$

داریم

$BC=\min\left \{ BC,CA,AB \right \}$

. دوایر محیطی‌

$\triangle AHC , \triangle AHB$

اضلاع

$AB,AC$

رو به ترتیب برای بار دوم در

$M,N$

قطع میکنند . ثابت کنید مرکز دایره محیطی‌

$\triangle MHN$

روی خط اویلر

$\triangle ABC$

قرار دارد .
(

$H$

مرکز ارتفاعی)

جواب:
چون محاسبات در بعضی موارد طولانی بود اینجا ننوشتم. اگر کسی خواست بگه تا بنویسم.

دایره ی محیطی مثلث رو دایره ی واحد در نظر می گیریم. ضلع

$BC$

رو موازی محور حقیقی در نظر می گیریم(

$c-b\in\mathbb{R}$

) . از همین دو فرض نتایج زیر به دست میان که محاسبات رو خیلی ساده تر می کنن.

$a\overline{a}=|a|^2=1\Rightarrow \overline{a}=\frac{1}{a},\overline{b}=\frac{1}{b},\overline{c}=\frac{1}{c}$

همچنین چون BC موازی محور حقیقیه پس قرینه ی

$B$

نسبت به این محور، با مرکز مختصات و نقطه ی

$C$

هم خطه. پس:

$\overline{b}=-c\; ,\overline{c}=-b\Rightarrow \frac{1}{c}=-b\Rightarrow bc=-1$

از محاطی بودن

$ABHN$

می توان نتیجه گرفت:

$\angle HNC=\angle HCN=90-\angle A$

. پس

$CHN$

متساوی الساقین است، و چون

$BH$

بر

$CN$

عموده، پس

$N$

قرینه ی

$C$

نسبت به

$BH$

است. (به همین ترتیب

$M$

هم قرینه ی

$B$

نسبت به

$CH$

است)

پس

$n-b$

مضربی حقیقی از

$(h-b)^2$

است که نرم آن با نرم

$c-b$

برابر است. پس (به راحتی می توان ثابت کرد

$h=a+b+c$

) :

$n-b=k(a+c)^2\Rightarrow |n-b|=k|a+c|^2=|c-b|=c-b\Rightarrow k=\frac{c-b}{(a+c)(\overline{a+c})}\\ \Rightarrow n-b=\frac{a+c}{\overline{a}+\overline{c}}(c-b)=ac(c-b)=ac^2+a\Rightarrow n=ac^2+a+b$

به طور مشابه برای

$m$

هم به دست می آید:

$m=ab^2+a+c$

اکنون محل برخورد عمود منصف

$MN$

با خط اویلر را به دست می آوریم و ثابت می کنیم مرکز دایره ی محیطی

$HMN$

است:

$|o-m|=|o-n|\Leftrightarrow (o-m)(\overline{o}-\overline{m})=(o-n)(\overline{o}-\overline{n})\Leftrightarrow \dots \\ \Leftrightarrow o\left ( \frac{a+b+c}{a} \right )-\overline{o}(ab+bc+ca)=(b^2+c^2)(a+\frac{1}{a})$

معادله ی خط اویلر هم برابر است (خطی که از h و مرکز می گذرد):

$\frac{a+b+c}{o}=\frac{\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}}{\overline{o}}=\frac{-(ab+bc+ca)}{a\overline{o}}$

با حل دو معادله ی بالا به دست می آید:

$o=\frac{(a+b+c)(b^2+c^2)}{b^2+bc+c^2}$

فقط کافیه ثابت کنیم

$|o-h|=|o-m|$

:

$o-m=\frac{(a+b+c)(b^2+c^2)-(ab^2+a+c)(b^2+c^2)-bc(ab^2+a+c)}{b^2+bc+c^2} \\ \\ =\frac{(b-ab^2)(b^2+c^2)+ab^2+a+c}{b^2+bc+c^2}=\frac{-ab^4+b^3+ab^2}{b^2+bc+c^2}$

$o-h=\frac{(a+b+c)(b^2+c^2)-(a+b+c)(b^2+c^2+bc)}{b^2+bc+c^2}=\frac{a+b+c}{b^2+bc+c^2}$

$|o-h|=|o-m|\Leftrightarrow \frac{|a+b+c|}{|b^2+bc+c^2|}=\frac{|b^2||-ab^2+b+a|}{|b^2+bc+c^2|}=\frac{|-ab^2+b+a|}{|b^2+bc+c^2|} \\ \Leftrightarrow |a+b+c|=|-ab^2+b+a|\Leftrightarrow |a+b+c|=|\overline{-ab^2+b+a}|$

برای اثبات آخرین تساوی هم:

$\overline{-ab^2+b+a}=\frac{-c^2}{a}-c+\frac{1}{a}=\frac{-c^2-ac-bc}{a}=\frac{-c}{a}(a+b+c) \\ \Rightarrow |\overline{-ab^2+b+a}|=|a+b+c|$

و اثبات به پایان می رسد.

mahanmath · 1390/12/20

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

مرسی‌ از راه حل کاملی که گذاشتی‌ ، فوق‌العاده بود .البته بهتره که راه حل رو با علائم ریاضی‌ (x ==>y) بنویسیم تا راه حل کوتاه تر بشه .
اینم لینک راه حل

اگه موافقید این آخرین سوال مختلطی باشه که من میذارم اینجا بگید .
http://www.irysc.com/forum/users/3897/
هر چند این مخالف نظر من هست، چون خیلی‌ ایده‌های زیادی هست که تا الان تو سوال‌ها ظاهر نشدن . Vieta jumping یه تکنیک بود که ۲ تا مثال هم می‌تونست ایده اصلی‌ رو واسه آدم جا بندازه ، ولی‌ مختلط خیلی‌ گسترده تره پس تعجبی نداره که پروندش دیر تر بسته شه .
سوال بعد :
در مثلث حاده

$\overset{\triangle}{A_1 A_2 A_3}$

,

$H_i ,T_i$

به ترتیب تصویر

$I$

(مرکز محاطی) و

$A_i$

روی

$A_{i-1}A_{i+1}$

هستند .

$\l _i$

قرینه

$H_{i-1}H_{i+1}$

نسبت به

$T_{i-1}T_{i+1}$

هست . ثابت کنید

$\l_1 , \l_2 , \l_3$

روی دایره محاطی (

$I$

) همرسند .

mahanmath · 1390/12/23

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

چی‌ شد بچه‌ها ؟ هیچ نظری درباره ماراتن و سوال آخر ندارید ؟ :3:

hh1546 · 1390/12/24

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

mahanmath گفت

به نظر من بهتره به مبحث جدید شروع کنیم اما اگه تونستید حداقل 10_15 تا سوال مختلط بذارید تا خودمون حل کنیم

tanaz19 · 1390/12/24

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

میشه یکی از اساتید بگه ک مبحث بعدی چیه ؟؟؟

mahanmath · 1390/12/25

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

خوب اینم به درخواست حسین (hh۱۵۴۶) ، یه تعداد زیادی سوال هست با یه مقدار توضیحات . فکر می‌کنم بیشتر سوال‌ها راه حل دارند ،اگه نداشتن هم من در خدمتم . PM بزنید .

http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf

من تو نظرات یه وبلاگ خوندم که سطح مطالب این ماراتن خیلی‌ بالاست :105:! ولی‌ واقعاً اینطوری نیست ، مختلط چیزی جز محاسبه نیست ، Vieta jumping هم که فقط یه ایده بود . تازه ایده‌ای هم هست که می‌تونن ازش تو مرحله ۲ سوال بدن چون واقعاً مقدماتی هست .

goldeneagle · 1390/12/27

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

سلام به همگی....عید همه مبارک ....به قول فامیل دور: هر روزتان نوروز....نوروزتان پیروز (من الان چه جوریم؟!‌ :4

اما بعد....
مبحث بعدی که می خواهیم شروع کنیم ناورداست......هم وارد ترکیبیات می شویم هم کاربرد این ایده برای شما ملموس تر است و این گونه شاید یک عده از دوستان که با ادعای بالا بودن سطح ایده ها به کنج عزلت خزیده اند هم در مباحث حضور به هم رسانند ...انشاالله..... :4:

اما من قبلش یک سوال داشتم...ناوردا رو لازم هست معرفی کنیم و با مثالهای ساده شروع کنیم یا نه....از مثالها و تکنیکهای دشوار شروع کنیم؟! نظرتان را در لینک زیر برای من بنویسید:
نمایش مشخصات: goldeneagle - المپیادهای علمی ایران

در آخر هم ضمن آرزوی سالی خوش ، انتقادات و پیشنهاداتتان را هم برای یکی از ما 4 نفر ( در صفحاتی مشابه لینک بالا یا با پیغام خصوصی :3

بفرستید.....

goldeneagle · 1390/12/28

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

خوب من به این جمع بندی رسیدم که این چند روزی که به دید و بازدید و اینها میگذره دوستانی که تا حالا مبحث ناوردا را مطالعه نکردند ، یک نگاهی بیندازند و ایده ها وسوالات مقدماتی را ببینند تا همه با هم پیش برویم
من پیشنهاد می کنم دوستانی که با ناوردا آشنایی ندارند از کتاب استراژیهای حل مساله فصل اول را تا جایی که می توانند مطالعه کنند و تمارینش را هم تا حدی که وقت کردند حل کنند...می دانم ممکن است برنامه ی درسی دیگری داشته باشید اما خواهشا چند ساعتی وقت بگذارید و این کار را انجام دهید تا بعد همه با هم پیش برویم....
باز هم سال نو همگی مبارک..... شاید اگر بتوانیم هر روز یک تعداد سوال متفرقه بگذاریم به عنوان عیدانه ...خلاصه این ماراتن تعطیلی نمی شناسد.... :4:

threehandsnal · 1390/12/28

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goldeneagle گفت

از نظر من فصل ناوردایی کتاب ترکیبیات آقای ثروتی انتشارات خوشخوان هم خیلی خوب توضیح داده و سوالاش خیلی خوبن :3:
من که خودم با آقای ثروتی راحت تر بودم :4:
تا بماند شما چه میپسندید :4::4::4:
در ضمن.عید همگی مبارک :3:

P.s. بازهم ممنون از شما طلایی ها که این ماراتن رو جاودان نگه میدارین..... :4:

hoco.hc · 1390/12/28

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goldeneagle گفت

خب استراتژی پر از مثال های عالی برای ناوردایی هست ( یکی از بهترین فصل های استراتژی به نظر من فصل اوّلش بود ) . این که بخواهید از ساده شروع کنید ، یه کمی ... هست . بهتره حداقل سوالایی که می زارید در سطح مرحله 2 باشه ( هر چه بیشتر بهتر ) :98:

goldeneagle · 1390/12/28

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

1) حتما کتابهای دیگری هم هست اما من به شخصه فصل اول استراتتژی رو خیلی دوست دارم و جز بهترین فصلهاش میدونم....
2) قبول دارم اگه فصل اول استراتژی بخونید کلی سوال دیدید اما اولا استراتژی قدیمیه و کلی از سوالهای جدید رو نداره ثانیا منم فکر نمی کنم کسی توی 6 روز تعطیل و عید بتونه اون فصل رو کامل بخونه(اگه قبلا نخونده باشه)..... اما توصیه میکنم حتما در یک برنامه ریزی این فصل رو کامل بخونید ..خیلی آموزنده است.... :3:

alich100 · 1391/1/4

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

از ناوردایی سوال بدید ببینیم بلد شدیم یا نه؟!

goldeneagle · 1391/1/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

ببخشید اگر این ماراتن خوابیده..... راستش ناغافل به ما یک سری تمرین دادن یه ذره برناممون بهم ریخت..در اولین فرصت ماراتن رو از سر میگیریم.... بازم معذرت .... :4:

goodarz · 1391/1/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

خب بچه ها برای شروع یه سوال تقریبا ساده رو میذارم. بعدش کم کم میریم سراغ سوالای سخت تر :3:

دنباله

$1,0,1,0,1,0,3,5,....$

رو در نظر بگیرید که در اون از جمله هفتم به بعد, هر جمله برابر رقم سمت راست مجموع 6تا جمله قبلیه. ثابت کنید بلوک

$0,1,0,1,0,1$

هیچ وقت نمی تونه تو این دنباله ظاهر بشه.

Aref · 1391/1/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goodarz گفت

$x_{n+1}+2x_{n+2}+3x_{n+3}+4x_{n+4}+5x_{n+5}+6x_{n+6}\pmod 5$

ناورداست.

MBGO · 1391/1/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

با سلام

1.این(010101) سوالی بود که اولین بار که دیدمش نتونستم حلش کنم و به نظرم یکم سخته ایدش!(حداقل برای من!)
2.چجوری این تاپیک قراره پیش بره؟ مثل ماراتن قراره بشه؟!
3.برای این که این پست مفید باشه منم یه سوال می ذارم:

ناوردا-2: در باغ پرندگان اصفهان! بسیاری از پرندگان همدیگر را دیده اند.یک پرنده را فرد می نامیم اگر تعداد فردی از پرندگان را دیده باشد.ثابت کنید تعداد پرندگان فرد،زوج است. (منبع : آرتور انگل)

باتشکر.

threehandsnal · 1391/1/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

MahanBabol گفت

ببخشید دوست عزیز؛قبل از پست گذاشتن باید این پست رو میخوندی:
ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
بچه های دوره طلا اینجا سوال میذارن و خودشون میدونن چه زمانی باید سطح سوالارو ببرن بالا.بقیه سوال نمیذارن :3:

جواب سوال شما:‌ میتونیم هر پرنده رو به یه راس گراف متناظر کنیم.میدونیم تعداد راس های فرد در گراف زوجه.پس مساله حل شد :4:

MBGO · 1391/1/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

با سلام

1.خدمت ali_irysc عزیز، حرف شما کاملا درسته... اما همون طور که threehandsnal عزیز گفتند هرچیزی جای خودش رو داره....و بهتره قداست بعضی چیزهارو از بین نبریم( @ali_irysc )

اصلا من نمی دونم چرا دارید تاپیک رو خراب میکنید؟!

2.راه 2 برای اون سوالی که دادم : تعداد پرندگان فرد در ابتده زوج بوده و با هربار دیدن همدیگر +2 یا 0 یا -2 تا تغییر می کنه!پس زوجیتش همیشه ناورداست!

باتشکر.

alich100 · 1391/1/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

همون بهتره که خودمون سوال بذاریم!
طلاداران که انقده سرشون شلوغه:71: دیگه نمیان برا ما سوال بذارن
(طرح ترغیب کردن طلادارا برای گذاشتن سوال!!!!)

goodarz · 1391/1/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

alich100 گفت

راستش اگه یکم طول میکشه یکی از دلایلش اینه که خودمونم این چندوقته درگیر مشخ عید و ایناییم....دلیل دیگش اینه که میخوایم با هم بحث کنیم که ببینیم چه سوالی مناسب تره, اینم یکم زمان میبره (با توجه به اینکه ساعت خواب ما 4تا هم یکی نیست :4

به هر حال, همون طور که همتون میدونید, وقتی یه سوال ترکیبیات میبینید که با آیا شروع میشه, دوتا کار میتونید بکنید, یکی این که سعی کنید واسش مثالی بسازید که بحثش جداست, یکی هم اینه که سعی کنید یه چیز ناوردا پیدا کنید که وضعیتش تو حالت اول و آخر یکی نیست, و نتیجه بگیرید کاری که سوال از شما میخواد ممکن نیست. یه نمونش میتونه این سوال باشه:

اضلاع یک

$99$

ضلعی طوری رنگ شدند که اگر از یه ضلع شروع کنیم و متوالیا پیش بریم رنگ های قرمز, آبی, قرمز, آبی,...,قرمز, آبی, زرد رو میبینیم. در هر مرحله رنگ یکی از اضلاع رو با یکی از سه رنگی که در اختیار داریم (قرمز, آبی و زرد) عوض می کنیم طوری که در وضعیت جدید هم هیچ دو ضلع مجاوری هم رنگ نباشن. آیا ممکنه که بعد از متناهی بار انجام دادن این اعمال, به وضعی برسیم که اگه از یه ضلع شروع کنیم و متوالیا پیش بریم رنگ های قرمز, آبی, قرمز, آبی, قرمز, آبی,....,قرمز, زرد, آبی رو ببینیم؟ (آمریکا 1994)

AoPS Forum - Colored 99-gon • Art of Problem Solving

ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member