ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
- شروع کننده موضوع goldeneagle
- تاریخ شروع
- برچسپ ها استفاده اعداد طبیعی المپیاد المپیاد ریاضی المپیادهای علمی ایران ریاضی ریشه سوال طبیعی عدد طبیعی قضیه قوانین ماراتن مربع معادله نظریه اعداد همکاری هندسه پیشرفته یک سوال
- ارسال ها
- 327
- لایک ها
- 378
- امتیاز
- 0
پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
راه حل:
{یه جوری دارم مینویسم که کسایی که زیاد ناوردایی حل نکردن هم بتونن راحت متوجه بشن :3:}
قبل از تغییر رنگ دادن دو حالت داریم:
1)دو ضلع مجاور ضلعی که میخواهیم رنگش را عوض کنیم،هر دو همرنگ باشند.در این صورت یک انتخاب برای تغییر رنگ داریم.
2)دو ضلع مجاور همرنگ نباشند! در این صورت تغییر رنگ امکان پذیر نیست! :4:
پس تنها حالتی رو باید بررسی کنیم که دو ضلع مجاور ضلعی که میخوایم رنگشو عوض کنیم همرنگ باشن! حالا باید یه چیز ناوردا پیدا کنیم! میایم به هر رنگ یه عدد نسبت میدیم (این ایده خوبیه واسه وقتی که چند تا رنگ داریم و میخوایم ناوردایی بزنیم!).فرض کنید هر ضلعی که رنگش قرمز بود رو بهش عدد 0 نسبت بدیم،هر ضلعی که آبی بود رو بهش عدد ۱ نسبت بدیم و هر ضلعی که زرد بود رو عدد 2 نسبت بدیم(الان واضحه که چون سه تا عدد کوچیکتر از ۳ داریم باید از همنهشتی به پیمانه ۳ استفاده کنیم!)
میایم میبینیم بعد از تغییر رنگ چیشون نسبت به پیمانه ۳ ناورداست!فرض کنید موقع تغییر رنگ،رنگ ضلع انتخابیمون آبیه(۱) و میخوایم زردش(۲) کنیم!(رنگ دو ضلع مجاور قرمز(۰) هست!چیزی که اینجا ناورداست،ضرب تفریق ضلع i ام از ضلع i-1 ام هست!یعنی :
\times%20(1-0)\equiv%20(0-2)\times(2-0)\equiv%20-1\:(mod\:3))
اضلاع یک
ضلعی طوری رنگ شدند که اگر از یه ضلع شروع کنیم و متوالیا پیش بریم رنگ های قرمز, آبی, قرمز, آبی,...,قرمز, آبی, زرد رو میبینیم. در هر مرحله رنگ یکی از اضلاع رو با یکی از سه رنگی که در اختیار داریم (قرمز, آبی و زرد) عوض می کنیم طوری که در وضعیت جدید هم هیچ دو ضلع مجاوری هم رنگ نباشن. آیا ممکنه که بعد از متناهی بار انجام دادن این اعمال, به وضعی برسیم که اگه از یه ضلع شروع کنیم و متوالیا پیش بریم رنگ های قرمز, آبی, قرمز, آبی, قرمز, آبی,....,قرمز, زرد, آبی رو ببینیم؟ (آمریکا 1994)
{یه جوری دارم مینویسم که کسایی که زیاد ناوردایی حل نکردن هم بتونن راحت متوجه بشن :3:}
قبل از تغییر رنگ دادن دو حالت داریم:
1)دو ضلع مجاور ضلعی که میخواهیم رنگش را عوض کنیم،هر دو همرنگ باشند.در این صورت یک انتخاب برای تغییر رنگ داریم.
2)دو ضلع مجاور همرنگ نباشند! در این صورت تغییر رنگ امکان پذیر نیست! :4:
پس تنها حالتی رو باید بررسی کنیم که دو ضلع مجاور ضلعی که میخوایم رنگشو عوض کنیم همرنگ باشن! حالا باید یه چیز ناوردا پیدا کنیم! میایم به هر رنگ یه عدد نسبت میدیم (این ایده خوبیه واسه وقتی که چند تا رنگ داریم و میخوایم ناوردایی بزنیم!).فرض کنید هر ضلعی که رنگش قرمز بود رو بهش عدد 0 نسبت بدیم،هر ضلعی که آبی بود رو بهش عدد ۱ نسبت بدیم و هر ضلعی که زرد بود رو عدد 2 نسبت بدیم(الان واضحه که چون سه تا عدد کوچیکتر از ۳ داریم باید از همنهشتی به پیمانه ۳ استفاده کنیم!)
میایم میبینیم بعد از تغییر رنگ چیشون نسبت به پیمانه ۳ ناورداست!فرض کنید موقع تغییر رنگ،رنگ ضلع انتخابیمون آبیه(۱) و میخوایم زردش(۲) کنیم!(رنگ دو ضلع مجاور قرمز(۰) هست!چیزی که اینجا ناورداست،ضرب تفریق ضلع i ام از ضلع i-1 ام هست!یعنی :
پس ایده ای که به ذهن آدم میرسه اینه که این مقدار به پیمانه ۳ همواره ثابته:
\times%20(a_2-a_3)\times%20...\times%20(a_{99}-a_1))
(
عدد متناظر با راس i ام هست) میبینیم حالت اول این مقدار چیه:
\times%20(1-0)\times%20...\times%20(0-1)\times%20(1-2)\times%20(2-0)\equiv%20(-1)^{49}\times(1-2)\times(2-0)\equiv%202\:(mod\:3))
فرض خلف کنیم که خواسته مساله غلطه!یعنی میشه اونکارو کرد.در این صورت مقدار A برابر میشه با:
\times%20(1-0)\times...\times%20(0-1)\times%20(1-0%20)%20\times%20(0-2)\times%20(2-1)\times%20(1-0)\equiv%20(-1)^{48}\times%20-2\times%201\equiv%201\:(mod\:3))
که تناقضه. پس این کار امکان پذیر نیست!
(
فرض خلف کنیم که خواسته مساله غلطه!یعنی میشه اونکارو کرد.در این صورت مقدار A برابر میشه با:
که تناقضه. پس این کار امکان پذیر نیست!
پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
یعنی میگی ناوردا ساده ست و کاربردی نیست؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
من تو این مورد یه خورده مخالفم چون میشه یه سوالایی از ناوردا گذاشت که واقعن خیلی خیلی سخت باشه (که البته قطعن اینجا نمیذاریم چون دم مرحله دو زیاد خوب نیست.........:4
بعدشم ناوردا واقعن خییییییلییییییی مهمه یعنی تو مرحله دو فک کنم بعد از استقرا تعداد سوالای ناوردایی که اومده از بقیه بیشتر باشه...............
یعنی میگی ناوردا ساده ست و کاربردی نیست؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
من تو این مورد یه خورده مخالفم چون میشه یه سوالایی از ناوردا گذاشت که واقعن خیلی خیلی سخت باشه (که البته قطعن اینجا نمیذاریم چون دم مرحله دو زیاد خوب نیست.........:4
بعدشم ناوردا واقعن خییییییلییییییی مهمه یعنی تو مرحله دو فک کنم بعد از استقرا تعداد سوالای ناوردایی که اومده از بقیه بیشتر باشه...............
پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
جايگشتي دوري از اعداد
تا
داده شده است. هر بار مي توانيم جاي دو عدد مجاور را عوض كنيم به شرط ان كه تفاضل ان دو به پيمانه
با
همنهشت نباشد.دو جايگشت دوري را هم ارز مي ناميم هرگاه از يكي با انجام چند تا از اعمال فوق بتوانيم به ديگري برسيم.حداكثر تعداد هاي جايگشت هاي دوري دو به دو غير هم ارز را براي هر
به دست اوريد.
جايگشتي دوري از اعداد
- ارسال ها
- 48
- لایک ها
- 173
- امتیاز
- 0
پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
من الان یک سوال برام پیش اومده...الان شما این سوال رو نتونستید حل کنید یا این که حل کردید و چون دم مرحله 2 هست و وقت کمه و این حرفا وقت ندارید تایپ کنید.... این خیلی مهمه ها...حتما جواب بدید به این سوالم ....چون اگه مورد اول باشه که باید راهنمایی کنیم و اگر مورد دوم باشه باید یه فکری بکنیم به حال این وضع.....
منتظر جوابتون هستم...فقط اگر موافق حرفهای یک نفر بودید (مثلا گفت من نتونستم حل کنم و شما هم نظرتان همین بود ) از کلید تشکر استفاده کنید و پست جدید نگذارید تا تعداد پستهای غیر علمی ماراتن خیلی زیاد نشه :3:
ما جواب شما را هم در این حالت مد نظر میگیریم....
من الان یک سوال برام پیش اومده...الان شما این سوال رو نتونستید حل کنید یا این که حل کردید و چون دم مرحله 2 هست و وقت کمه و این حرفا وقت ندارید تایپ کنید.... این خیلی مهمه ها...حتما جواب بدید به این سوالم ....چون اگه مورد اول باشه که باید راهنمایی کنیم و اگر مورد دوم باشه باید یه فکری بکنیم به حال این وضع.....
منتظر جوابتون هستم...فقط اگر موافق حرفهای یک نفر بودید (مثلا گفت من نتونستم حل کنم و شما هم نظرتان همین بود ) از کلید تشکر استفاده کنید و پست جدید نگذارید تا تعداد پستهای غیر علمی ماراتن خیلی زیاد نشه :3:
ما جواب شما را هم در این حالت مد نظر میگیریم....
- ارسال ها
- 362
- لایک ها
- 74
- امتیاز
- 28
پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
http://www.irysc.com/forum/t1773-48/
حلی از استاد ماهان برای پریدن برق از سر.
http://www.irysc.com/forum/t1773-48/
حلی از استاد ماهان برای پریدن برق از سر.
- ارسال ها
- 48
- لایک ها
- 173
- امتیاز
- 0
پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا
با توجه به این که کسی حل رو نمی ذاره من لینک حل رو میذارم: این سوال از تورنمنت شهرها 2010 است و فوقالعاده سوال زیبایی است...من یکی بهش ارادت زیادی دارم....
http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/archives/TT2010F_JAsolutions.pdf (سوال 7)
اما من یک ذره ناراحت شدم که چرا خیلی از کسانی که توی ماراتن بودن حتی توی این نظرپرسی (!!!) ما شرکت نکردند.....اما خوب اگر واقعا این قدر وقت کمه من همین جا اعلام می کنم که این ماراتن فعلا متوقف میشه تا بعد....
موفق باشید....
با توجه به این که کسی حل رو نمی ذاره من لینک حل رو میذارم: این سوال از تورنمنت شهرها 2010 است و فوقالعاده سوال زیبایی است...من یکی بهش ارادت زیادی دارم....
http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/archives/TT2010F_JAsolutions.pdf (سوال 7)
اما من یک ذره ناراحت شدم که چرا خیلی از کسانی که توی ماراتن بودن حتی توی این نظرپرسی (!!!) ما شرکت نکردند.....اما خوب اگر واقعا این قدر وقت کمه من همین جا اعلام می کنم که این ماراتن فعلا متوقف میشه تا بعد....
موفق باشید....
