ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

حمید آنالیز · 1394/5/17

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Amitis :D گفت

فکر می کنم به این سوال جواب داده نشده باشد.

ابتدا به این نکته توجه کنید که تابع

$f$

یک به یک و پوشاست. از نکته بعدا در اثبات استفاده می شود.

داریم:

$f(f(x\sqrt2)^2+2f(y)^2)=2x^2+2y^2$

از تقارن عبارت و یک به یکی تابع نتیجه می گیریم که برای هر دو عدد حقیقی و مثبت

$x,y$

داریم:

$f(x\sqrt2)^2+2f(y)^2=f(y\sqrt2)^2+2f(x)^2\Rightarrow f(x\sqrt2)^2-2f(x)^2=c$

ادعا می کنیم

$c=0$

. فرض کنید این طور نباشد. در این صورت دو حالت داریم:

$c>0\Rightarrow f(x\sqrt2)^2=c+2f(x)^2>c$

که در تناقض با پوشایی

$f$

است.

$c<0\Rightarrow 2f(x)^2=c+f(x\sqrt2)^2>c$

که این نیز در تناقض با پوشایی

$f$

است.

پس

$f(x\sqrt2)=f(x)\sqrt2$

. اکنون از عبارت مساله داریم:

$(x,y\sqrt2)\Rightarrow f(f(x)^2+2f(y\sqrt2)^2)=x^2+y^2$

پس

$f(f(x)^2+f(y)^2)=x^2+y^2$

$(x,x)\Rightarrow f(2f(x)^2)=2x^2\Rightarrow f(f(x)^2)=x^2$

بنابراین:

$f(f(x)^2+f(y)^2)=f(f(x)^2)+f(f(y)^2)$

پوشایی نتیجه می دهد که تابع

$f$

جمعی است.

از اینجا با توجه به برد تابع

$f$

نتیجه می شود که:

$f(x)=cx$

در فرض مساله این تابع را جایگذاری می کنیم و نتیجه می شود که:

$f(x)=x$

D:

خیلی ممنون از حلتون لطفا سوال بعد رو لطف کنین.با تشکر

Dadgarnia · 1394/5/17

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Amitis :D گفت

فکر می کنم به این سوال جواب داده نشده باشد.

ابتدا به این نکته توجه کنید که تابع

$f$

یک به یک و پوشاست. از نکته بعدا در اثبات استفاده می شود.

داریم:

$f(f(x\sqrt2)^2+2f(y)^2)=2x^2+2y^2$

از تقارن عبارت و یک به یکی تابع نتیجه می گیریم که برای هر دو عدد حقیقی و مثبت

$x,y$

داریم:

$f(x\sqrt2)^2+2f(y)^2=f(y\sqrt2)^2+2f(x)^2\Rightarrow f(x\sqrt2)^2-2f(x)^2=c$

ادعا می کنیم

$c=0$

. فرض کنید این طور نباشد. در این صورت دو حالت داریم:

$c>0\Rightarrow f(x\sqrt2)^2=c+2f(x)^2>c$

که در تناقض با پوشایی

$f$

است.

$c<0\Rightarrow 2f(x)^2=c+f(x\sqrt2)^2>c$

که این نیز در تناقض با پوشایی

$f$

است.

پس

$f(x\sqrt2)=f(x)\sqrt2$

. اکنون از عبارت مساله داریم:

$(x,y\sqrt2)\Rightarrow f(f(x)^2+2f(y\sqrt2)^2)=x^2+y^2$

پس

$f(f(x)^2+f(y)^2)=x^2+y^2$

$(x,x)\Rightarrow f(2f(x)^2)=2x^2\Rightarrow f(f(x)^2)=x^2$

بنابراین:

$f(f(x)^2+f(y)^2)=f(f(x)^2)+f(f(y)^2)$

پوشایی نتیجه می دهد که تابع

$f$

جمعی است.

از اینجا با توجه به برد تابع

$f$

نتیجه می شود که:

$f(x)=cx$

در فرض مساله این تابع را جایگذاری می کنیم و نتیجه می شود که:

$f(x)=x$

D:

ببخشيد فكر كنم سوالو اشتباه گذاشته بودم. البته اين سوالي كه من به اشتباه گذاشتم هم سوال خوبي بود براي فكر كردن. سوالي كه من مي خواستم بذارم دامنه و برد تابعش اعداد صحيح مثبت بود.

Amitis :D · 1394/5/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

راه حل برای وقتی که دامنه و برد تابع اعداد صحیح مثبت هست:

مجددا دیده می شود که تابع یک به یک است. بنابراین برای هر 4 عدد صحیح مثبت

$(x,y,z,t)$

که

$x^2+2y^2=z^2+2t^2$

داریم:

$f(x)^2+2f(y)^2=f(z)^2+2f(t)^2$

حالا اتحاد لاگرانژ رو یادآوری می کنم:

$(x^2+2y^2)(z^2+2t^2)=(xz+2yt)^2+2(xt-yz)^2=(xz-2yt)^2+2(xt+yz)^2$

بنابراین برای هر 4 عدد صحیح و مثبت

$(x,y,z,t)$

که

$xz-2yt \neq 0, xt-yz \neq 0$

داریم:

$f(xz+2yt)^2+2f(|xt-yz|)^2=f(|xz-2yt|)^2+2f(xt+yz)^2\; (1)$

قرار بدید:

$y=z=t=1$

به دست می آید:

$f(x+2)^2+2f(|x-1|)^2=f(|x-2|)^2+2f(x+1)^2$

برای

$x\neq 1,2$

بنابراین برای هر عدد صحیح و مثبت

$x$

داریم:

$f(x+4)^2+2f(x+1)^2=f(x)^2+2f(x+3)^2$

پس دنباله ی

$\{f(x)^2\}_{x=1}^\infty$

یک دنباله ی بازگشتی خطی است که معادله ی مشخصه ی آن

$x^4-2x^3+2x-1=(x+1)(x-1)^3$

بنابراین:

$f(x)^2=\lambda_1x^2+\lambda_2x+\lambda_3+\lambda_4(-1)^x$

این جواب رو اگر در معادله ی اصلی مساله جایگذاری کنید به دست میاد:
(*)

$f(\lambda_1(x^2+2y^2)+\lambda_2(x+2y)+3\lambda_3+\lambda_4((-1)^x+2(-1)^y))=x^2+2y^2$

تعریف کنید:

$P(x,y)=\lambda_1(x^2+2y^2)+\lambda_2(x+2y)+3\lambda_3+\lambda_4((-1)^x+2(-1)^y)$

حالا اگر طرفین (*) رو به توان دو برسونیم خواهیم داشت:

$\lambda_1P(x,y)^2+\lambda_2P(x,y)+\lambda_3+\lambda_4(-1)^{P(x,y)}=x^4+4x^2y^2+4y^4$

حالا مقایسه ی ضرایب رو انجام میدیم:

$x^4 : \lambda_1^3=1\Rightarrow\lambda_1=1$

$x^3 : \lambda_1(2\lambda_1\lambda_2)=0\Rightarrow\lambda_2=0$

بنابراین:

$f(x)^2=x^2+\lambda_3+\lambda_4(-1)^x$

اما می دونیم تفاضل دو عدد مربع کامل نابرابر، بی کران است. بنابراین نتیجه می شود که:

$f(x)^2=x^2$

D:

J.Karimi · 1394/6/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

اگر

$abc=1$

, و اعداد ما حقيقي و مثبت باشند ثابت كنيد:

$\frac{a}{\sqrt{7+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{7+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{7+a+b}}\geq 1$

Dadgarnia · 1394/6/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

J.Karimi گفت

با استفاده از نامساوي

$\frac{x+16}{6}\geq \sqrt{x+7}$

بايد ثابت كنيم:

$\sum _{cyc}\frac{a}{b+c+16}\geq \frac{1}{6}$

با استفاده از كوشي داريم:

$\sum _{cyc}\frac{a}{b+c+16}\geq \frac{\left (\sum_{cyc}a \right )^2}{2\sum_{cyc}ab+16\sum_{cyc}a}\geq \frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow 3\left ( \sum_{cyc}a \right )^2-8\sum_{cyc}a\geq \sum_{cyc}ab$

با استفاده از شور كافيه ثابت كنيم:

$\Leftrightarrow 3\left ( \sum_{cyc}a \right )^2-8\sum_{cyc}a\geq \frac{\left ( \sum_{cyc}a \right )^3+9}{4\sum_{cyc}a}$

$\Leftrightarrow \left ( \sum_{cyc}a-3 \right )\left ( 11\left ( \sum_{cyc}a \right )^2+\sum_{cyc}a+3 \right )\geq 0$

پس حكم ثابت شد.

J.Karimi · 1394/6/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

باتشكر فراوان از آقاي دادگرنيا

اين سوال رو يكي از دوستانم گفت كه توي تمرينات هولدر يه كتابي مثل اينكه ديده ببينيد مي تونيد اين رو با هولدر هم اثبات كنيد

من تا اينجا رسوندم ولي نتونستن ادامه اش رو تكميل كنم:

$(\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{7+b+c}})^{2}(\sum_{cyc}a(7+b+c))\geq (\sum_{cyc}a)^{3}$

$(\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{7+b+c}})^{2}\geq \frac{(\sum_{cyc}a)^{3}}{\sum_{cyc}a(7+b+c)}$

درنتيجه بايد ثابت كنيم:

$\left ( \sum_{cyc}a \right )^{3}\geq 7\sum_{cyc}a+2\sum_{cyc}ab$

ولي هركاري كردم نتونستم قشنگ جور در بيارمش ممنون ميشم اگه بتونيد كاملش كنيد!!!

Dadgarnia · 1394/6/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

J.Karimi گفت

با استفاده از نامساوي

$\sum_{cyc}ab\leq \frac{1}{3}\left ( \sum_{cyc}a \right )^2$

(توي راه حل من هم اگه به جاي شور از اين نامساوي استفاده مي كردم سوال اثبات ميشد) كافيه ثابت كنيم:

$\left ( \sum_{cyc}a \right )\left ( \sum_{cyc}a-3 \right )\left ( 3\sum_{cyc}a+7 \right )\geq 0$

اين هم واضحه.

Dadgarnia · 1394/8/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
تمام چند جمله اي هاي

$p(x)\in \Bbb{C}\left [ x \right ]$

را بيابيد به طوريكه

$p(x^2-2x)=p(x-2)^2$

.

Seyed Amir Hosseini · 1394/8/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

بعضياشو مربع ميذاره بازم نميكنه امشب خرابه فك كنم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

بعضياشو مربع ميذاره بازم نميكنه امشب خرابه فك كنم

Seyed Amir Hosseini · 1394/8/11

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

جوابش ميشه. 1= (p(x و يا 0=(p(x
اگه درسته بگيد راه حلمو بذارم

Dadgarnia · 1394/8/11

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Seyed Amir Hosseini گفت

نه سوال جواب هاي ديگه اي هم داره.

Sharifi_M · 1394/8/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$x\rightarrow x+1$

$P(x^2-2x)=P(x-2)^2\rightarrow P(x^2-1)=P(x-1)^2$

$Q(x)=P(x+1)$

$\Rightarrow Q(x^2)=Q(x)^2$

معادله آخر دو تا جواب ثابت داره:

$Q(x)=0$

و

$Q(x)=1$

بعد اگه ثابت نباشه میشه اینجوری نوشت این چند جمله ای رو:

$Q(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$

$n \in \mathbb{N}$

بعد اگر اینو تو معادله بالامون بزاریم و ضرایب جملات

$x^i$

رو تو دو طرف تساوی مقایسه کنیم و استقرا بزنیم نتیجه میشه که:

$Q(x)=x^n$

پس مجموعه جواب های

$Q$

شد

$0,1,x^n$

پس برای

$P$

خواهیم داشت

$0,1,(x+1)^n$

پی‌نوشت: معادله

$Q(x^2)=Q(x)^2$

رو قبل ها مستقل از این مسئله حل کرده بودم و فقط کلیتش یادم بود و جواب نهایی! :4: و حوصله باز کردن نداشتم! به بزرگی خودتون ببخشید!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

$a,b,c,x,y \in \mathbb{R}$

و

$a^2+b^2+c^2+x^2+y^2=1$

ماکزیمم عبارت زیر را بیابید:

$(ax+by)^2+(bx+cy)^2$

Dadgarnia · 1394/8/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

اول واضحه که می تونیم فرض کنیم

$a,b,c$

نامنفی اند. با استفاده از حسابی هندسی داریم:

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2)\leq \left ( \frac{a^2+b^2+c^2+x^2+y^2}{2} \right )^2=\frac{1}{4}$

با استفاده از اتحاد لاگرانژ و حسابی هندسی داریم:

$(ax+by)^2+(bx+cy)^2$

$=(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ay-bx)^2+(b^2+c^2)(x^2+y^2)-(by-cx)^2$

$=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2)+2bxy(a+c)-(a^2y^2+c^2x^2)$

$\leq \frac{1}{4}+xy(b^2+(c+a)^2)-2caxy\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{2}(x^2+y^2)(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{3}{8}$

حالت تساوی هم برای

$c=a=\frac{1}{2\sqrt{3}},b=\frac{1}{\sqrt{3}},x=y=\frac{1}{2}$

اتفاق می افته.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
برای چند جمله ای

$P(x)\in \Bbb{R}\left [ x \right ]$

داریم

$P(x)=\sum_{i=1}^{n}a_ix^i$

و قرار می دهیم

$Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i-1}a_ix^i$

. اگر

$2^{n+1},1$

دو ریشه از ریشه های

$Q$

باشند ثابت کنید

$P$

ریشه ای مثبت و کوچکتر از

$2^n$

دارد.

Dadgarnia · 1394/8/29

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

راهنمایی: ثابت کنید

$\sum_{i=0}^{n}P(2^i)=0$

.

Seyed Amir Hosseini · 1394/8/30

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

اصلا هيچ كدوم عبارتا را باز نميكنه لاتكس مشكل پيدا كرده

Dadgarnia · 1394/8/30

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

براي من كه درسته چند بار ديگه سعي كنيد شايد مشكل از طرف شما باشه.

Seyed Amir Hosseini · 1394/9/19

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

به علت اين كه سوال قبل به مدت زيادي حل نشده باقي موند اين سوالو گذاشتم اگه كسي تونست سوال قبلي را هم حلشو بذاره

$f$

و

$g$

چند جمله اي هايي با ضرايب حقيقي و از درجه ي ٢ هستند. ثابت كنيد اگر بدانيم

$f(g(x))$

و

$g(f(x))$

هيچ كدام ريشه ي حقيقي ندارند . آنگاه حداقل يكي از معادلات

$f(f(x)) =0$

و

$g(g(x)) =0$

هم جواب ندارند.

Sharifi_M · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

بعد از مدت طولانی دوباره به فکرش افتادم :4: ، داریم:

$P(1)=\sum_{i=1}^{n}a_i$

$P(2)=\sum_{i=1}^{n}a_i2^i$

$P(2^2)=\sum_{i=1}^{n}a_i2^{2i}$

...

$P(2^n)=\sum_{i=1}^{n}a_i2^{ni}$

پس داریم:

$\sum_{j=0}^{n} P(2^j)=\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_i2^{ji}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{n}a_i2^{ji}=\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{j=0}^{n}2^{ji}$

$=\sum_{i=1}^{n}a_i(\frac{2^{i(n+1)}-1}{2^i-1})=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{2^i-1}(2^{n+1})^i-\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{2^i-1}$

$=Q(2^{n+1})-Q(1)=0$

حالا اگر

$P$

ریشه ای در این بین نداشته باشد، آنگاه مقدار

$P(2^i)$

$0\leq i\leq n$

ها باید هم علامت باشند (در صورت نبود از قضیه مقدار میانی میشه فهمید ریشه ای وجود داره) که با فرض اینکه مجموعشون صفره در تناقضه پس فرض اولیه ما غلطه و

$P$

ریشه ای در

$1$

تا

$2^n$

داره.

$P(2^n)$

اگر صفر شود ریشه ی دیگری بین

$1$

تا

$2^{n-1}$

وجود خواهد داشت(مجموع P هایشان صفر خواهد شد.) و در مجموع نتیجه میگیریم که P ریشه ای کوچکتر از

$2^{n}$

و مثبت دارد.

Dadgarnia · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Seyed Amir Hosseini گفت

https://www.artofproblemsolving.com/community/c6h147156p832720

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Sharifi_M گفت

اینکه مجموعشون صفره رو هم ثابت کن بعدش هم سوال بعدی رو بذار.

Sharifi_M · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

دقیقا چیو؟ :د
چشم

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Well-Known Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

Active Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member