ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

اينو:

$\sum_{i=0}^{n}P(2^i)=0$

.

Sharifi_M · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Sharifi_M گفت

اینجا اثبات شد که :-؟ چیز دیگه میخوای؟

کلا سوال بعد! :4:
حداکثر تعداد

$-1$

ها در عبارت

$p(x)=x^{2016}\pm x^{2015}\pm ...\pm x\pm 1$

را بیابید تا

$p(x)$

ریشه نداشته باشد.

Dadgarnia · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Sharifi_M گفت

آهان راست میگی.
https://www.artofproblemsolving.com/community/c6h360818p1974760 فقط عدد هاشون با هم فرق دارن ایده اثبات یکیه.
سوال بعدی رو هم خودت بذار :4:

Sharifi_M · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

همه ی تابع های

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

بیابید به طوری که:

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$

اگه اینو دیدی خودت سوال بزار

Dadgarnia · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

فرض کنید رابطه سوال

$P(x,y)$

باشه. اگه تابع ثابت باشه بدست میاد

$f\equiv 2$

یا

$f\equiv 0$

. پس فرض می کنیم تابع ثابت نیست. قرار میدیم

$f(1)=c_1,f(-1)=c_2$

. داریم:

$P(x,0)\Rightarrow f(0)=0$

$P(x,1)\Rightarrow f(x+1)=(2-c_1)f(x)+c_1$

$P(x+1,y),P(x,y+1)\Rightarrow$

$f(xy+x)-f(xy+y)=f(x)-f(y)$

رابطه ی بالا رو

$Q(x,y)$

می نامیم. داریم:

(۱)

$Q(x,1)\Rightarrow f(2x)=(3-c_1)f(x)$

$Q(x-1,-1),P(x-1,1)\Rightarrow$

$f(x)=-(2-c_1)f(-x)+c_2(2-c_1)+c_1$

تو رابطه بالا اگه به جای

$x$

بذاریم

$-x$

یه تساوی بر حسب

$f(x)$

بدست میاد که چون

$f$

ثابت نیست می تونیم نتیجه بگیریم که

$c_1$

یکی از دو مقدار ۱ و ۳ رو داره و بنابر رابطه (۱)

$c_1$

نمی تونه ۳ باشه پس

$c_1=1$

حالا روابط زیر رو داریم:

$f(-x)=-f(x)+c_2+1$

$P(x,x),P(x,-x)\Rightarrow$

$(c_2+1)f(x)=2(c_2+1) \Rightarrow c_2=-1$

$Q(x,y),Q(x,-y)\Rightarrow f(xy+x)+f(x-xy)=2f(x)=f(2x)$

$Q(x,y),Q(x,-y)\Rightarrow$

$f(xy+x)+f(x-xy)=2f(x)=f(2x)$

$\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

$P(x,y)\Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$

همه ی توابعی که توی دو شرط

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

و

$f(xy)=f(x)f(y)$

صدق می کنند یه سوال معروفه که فقط جواب های

$f(x)=x$

و

$f\equiv 0$

رو داره پس همه ی جواب های سوال بدست اومدن.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
اعداد حقیقی

$x_1,x_2,\cdots,x_n$

به گونه ای اند که

$x_1+x_2=2x'_1,\cdots, x_n+x_1=2x'_n$

(

$x'_1,x'_2,\cdots,x'_n$

جایگشتی از اعداد

$x_1,x_2,\cdots,x_n$

هستند). ثابت کنید

$x_1=x_2=\cdots=x_n$

.

AHZolfaghari · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

فرض کنید رابطه سوال

$P(x,y)$

باشه. اگه تابع ثابت باشه بدست میاد

$f\equiv 2$

یا

$f\equiv 0$

. پس فرض می کنیم تابع ثابت نیست. قرار میدیم

$f(1)=c_1,f(-1)=c_2$

. داریم:

$P(x,0)\Rightarrow f(0)=0$

$P(x,1)\Rightarrow f(x+1)=(2-c_1)f(x)+c_1$

$P(x+1,y),P(x,y+1)\Rightarrow$

$f(xy+x)-f(xy+y)=f(x)-f(y)$

رابطه ی بالا رو

$Q(x,y)$

می نامیم. داریم:

(۱)

$Q(x,1)\Rightarrow f(2x)=(3-c_1)f(x)$

$Q(x-1,-1),P(x-1,1)\Rightarrow$

$f(x)=-(2-c_1)f(-x)+c_2(2-c_1)+c_1$

تو رابطه بالا اگه به جای

$x$

بذاریم

$-x$

یه تساوی بر حسب

$f(x)$

بدست میاد که چون

$f$

ثابت نیست می تونیم نتیجه بگیریم که

$c_1$

یکی از دو مقدار ۱ و ۳ رو داره و بنابر رابطه (۱)

$c_1$

نمی تونه ۳ باشه پس

$c_1=1$

حالا روابط زیر رو داریم:

$f(-x)=-f(x)+c_2+1$

$P(x,x),P(x,-x)\Rightarrow$

$(c_2+1)f(x)=2(c_2+1) \Rightarrow c_2=-1$

$Q(x,y),Q(x,-y)\Rightarrow f(xy+x)+f(x-xy)=2f(x)=f(2x)$

$Q(x,y),Q(x,-y)\Rightarrow$

$f(xy+x)+f(x-xy)=2f(x)=f(2x)$

$\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

$P(x,y)\Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$

همه ی توابعی که توی دو شرط

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

و

$f(xy)=f(x)f(y)$

صدق می کنند یه سوال معروفه که فقط جواب های

$f(x)=x$

و

$f\equiv 0$

رو داره پس همه ی جواب های سوال بدست اومدن.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
اعداد حقیقی

$x_1,x_2,\cdots,x_n$

به گونه ای اند که

$x_1+x_2=2x'_1,\cdots, x_n+x_1=2x'_n$

(

$x'_1,x'_2,\cdots,x'_n$

جایگشتی از اعداد

$x_1,x_2,\cdots,x_n$

هستند). ثابت کنید

$x_1=x_2=\cdots=x_n$

.

سلام به همه بچه های خوب آیریسک . بعد از مدت ها !!

$x_n^2 + x_1^2 + 2x_1x_n = 4{x_n}'^2$

$x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 = 4{x_2}'^2$

...

حالا همه رو با هم جمع می زنیم و توجه می کنیم

$\sum {x_i}'^2 = \sum {x_i}^2$

پس

$2 \sum {x_i}^2 + 2\sum x_ix_{i+1} = 4\sum {x_i}'^2$

و

$x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_{n}x_1 = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2$

و این یعنی :

$\frac{(x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + ... + (x_n - x_1)^2}{2} = 0$

و این هم معنی حکم مسئله است .

Dadgarnia · 1394/10/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
همه ی سه تایی های حقیقی

$x,y,z$

را بیابید که

$1+x^4\leq 2(y-z)^2,\quad 1+y^4\leq 2(x-z)^2,\quad 1+z^4\leq 2(x-y)^2.$

Amitis :D · 1394/11/1

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$2(y-z)^2\ge 1+x^4 \ge 2x^2 \iff |x| \le |y-z|$

حالا توجه کنید که اگر

$(x,y,z)$

یک جواب از مساله باشد،

$(-x,-y,-z)$

یک جواب مساله خواهد بود. پس بدون کاستن از کلیت مساله می توان فرض کرد که حداقل دو تا از

$x,y,z$

نامنفی هستند. اگر هر سه نامنفی باشند، تناقضی آشکار است. فرض کنید که مثلا

$|x|\ge |y|\ge |z|$

. در این صورت داریم که

$|x|\le |y|-|z|\Rightarrow x=y, z=0$

که با نابرابری

$1+z^4\le 2(x-y)^2$

در تناقض است.
پس یکی از

$x,y,z$

منفی است. فرض کنید که داریم:

$x\ge y \ge 0 > z$

اکنون:

$x-y\ge |z|, y-z\ge x \Rightarrow x-y = -z \Rightarrow 1+z^4\le 2z^2 \Rightarrow z=-1$

بنابراین

$x = y+1\Rightarrow 1+x^4\le 2(y-(-1))^2\Rightarrow 1+x^4\le 2x^2 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0$

و

$\Rightarrow (x,y,z)=(1,0,-1)$

and any permutation is also a solution.
خرکاری بود. P:

Arian Etemadi · 1394/11/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد رو خودتون بزارین.

Arian Etemadi · 1394/11/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد: همه توابع

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بیابید که:

$f(x+y^{2})\geq (y+1).f(x)$

به ازای هر x,y عضو R.

Dadgarnia · 1394/11/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

فرض کنید عبارت سوال

$P(x,y)$

باشه. یه عدد دلخواه و مثبت مثل

$k$

رو در نظر می گیریم. واضحه که اگه ثابت کنیم

$f(k)=0$

اون وقت برای هر

$x\leq k$

داریم

$f(x)=0$

. حالا با فرض

$f(k)\neq 0$

داریم:

$P(x-1,-1)\rightarrow f(x)\geq 0$

$P(k,x)\rightarrow f(x^2+k)\geq (x+1)f(k)$

$\Rightarrow P(y^2+k,x)\rightarrow f(x^2+y^2+k)\geq (x+1)f(y^2+k)\geq (x+1)(y+1)f(k)$

همینجوری و با استقرا می تونیم ثابت کنیم

$f(x_1^2+\cdots+x_n^2+x^2+k)\geq \prod_{i=1}^{n}(x_i+1)(x+1)f(k)$

حالا اگه توی این رابطه قرار بدیم

$x_1=\cdots=x_n=\sqrt{\frac{1}{n}}$

بدست میاد:

$f(x^2+k+1)\geq \left ( \sqrt{\frac{1}{n}}+1 \right )^n (x+1)f(k)$

حالا چون

$\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( \sqrt{\frac{1}{n}}+1 \right )^n=\infty$

(lim (sqrt(1/n)+1)^n - Wolfram|Alpha :4

اگه

$x$

رو یه عدد ثابت و مثبت در نظر بگیریم وقتی

$n$

رو زیاد کنیم سمت راست از سمت چپ بیشتر میشه که تناقضه پس

$f(k)=0$

که این هم نتیجه میده

$f\equiv 0$

.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
فرض کنید

$x_1,x_2,x_3$

اعدادی حقیقی باشند به طوریکه اعداد

$x_1+x_2+x_3$

و

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$

و

$x_1x_2x_3$

گویا باشند و

$\frac{x_1}{x_2}\in \Bbb{Q}-\left \{ 0,-1 \right \}$

. ثابت کنید

$x_1,x_2,x_3$

اعدادی گویا هستند.

Amitis :D · 1394/11/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

تعریف می کنیم:

$\left\{\begin{matrix} p = x_1+x_2+x_3\\ q = x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\\ r = x_1x_2x_3 \end{matrix}\right.$

بنابراین

$x_1,x_2,x_3$

ریشه های چندجمله ای

$P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-px^2+qx-r$

هستند. این چندجمله ای یک چندجمله ای با ضرایب گویاست، پس

$x_1,x_2,x_3$

اعداد جبری هستند.
از طرفی می دونیم که:

$P(x)=(x-x_1)(x-kx_1)(x-p+(k+1)x_1)$

که در اینجا

$k$

عددی گویا و مخالف 1-و0 است.
حالا فرض کنید که

$\omega$

عددی گویا باشد. در این صورت:

$\frac{P(k\omega)}{kP(\omega)}\in \mathbb{Q}$

یعنی:

$\left(\frac{k\omega-x_1}{\omega-kx_1}\right )\left(\frac{k\omega-p+(k+1)x_1}{\omega-p+(k+1)x_1} \right )=c_\omega\in\mathbb Q$

این نتیجه میده که

$x_1$

ریشه ی یک چند جمله ای درجه ی دوم با ضرایب گویاست. به همین ترتیب میشه ثابت کرد که

$x_2$

ریشه ی یک چندجمله ای درجه ی دوم با ضرایب گویاست.
حالا فرض کنید که

$x_1$

گویا نباشد. (اگر گویا باشد که مساله حل شده است.) در این صورت چون

$x_2$

مضرب گویایی از

$x_1$

هستش، پس

$x_2$

هم گویا نیست. بنابراین،

$x_1,x_2$

باید مزدوج جبری هم باشند، و این نتیجه می دهد که

$x_3$

گویاست. حالا داریم:

$x_1+x_2 \in \mathbb Q\Rightarrow (k+1)x_1\in \mathbb Q$

که تناقض است. پس هر سه باید گویا باشند.

Dadgarnia · 1394/11/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Amitis :D گفت

درسته البته اون تهشو میشد با چند جمله ای مینیمال هم گفت که اگه

$x_1,x_2,x_3$

گویا نباشن

$P(x)$

چند جمله ای مینیمالشونه و بقیه اش راحت در میاد.
سوال بعد:

$x$

عددی حقیقی است و

$m\neq n$

اعدادی طبیعی هستند که

$x^n(x+1),x^m(x+1)$

اعدادی گویا هستند. ثابت کنید

$x\in \Bbb{Q}$

.

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia

New Member

Sharifi_M

New Member

Dadgarnia

New Member

Sharifi_M

New Member

Dadgarnia

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member

Amitis :D

New Member

Arian Etemadi

New Member

Arian Etemadi

New Member

Dadgarnia

New Member

Amitis :D

New Member

Dadgarnia

New Member