مسائلی در هندسه مسطحه
پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه
لينك واسه سوال 16
AoPS Forum - Equality of angles [Iran TST 2010] • Art of Problem Solving
لينك واسه سوال 16
AoPS Forum - Equality of angles [Iran TST 2010] • Art of Problem Solving
پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه
دقت کنید لموان مرکز ثقل یه مثلثیه
---- دو نوشته به هم متصل شده است ----
سوال 20
در مثلث ABC مرکز دایره محاطی داخلی را I و مرکز دایره محاطی خارجی روبرو A را Ia و محل برخورد نیمساز خارجیA با BCرا D مینامیم.
عمود وارد از I بر DIa
دایره محیطی مثلث را در a' قطع میکند .b','c به ترتیب مشابه هستند.
ثابت کنید c'c,aa',b'b
همرسند
---- دو نوشته به هم متصل شده است ----
سوال 21
در شکل بالا H مرکز ارتفاعی مثلث است و AF بر ED عمود است. نشان دهید NY موازی HX است
دقت کنید لموان مرکز ثقل یه مثلثیه
---- دو نوشته به هم متصل شده است ----
سوال 20
در مثلث ABC مرکز دایره محاطی داخلی را I و مرکز دایره محاطی خارجی روبرو A را Ia و محل برخورد نیمساز خارجیA با BCرا D مینامیم.
عمود وارد از I بر DIa
دایره محیطی مثلث را در a' قطع میکند .b','c به ترتیب مشابه هستند.
ثابت کنید c'c,aa',b'b
همرسند
---- دو نوشته به هم متصل شده است ----
سوال 21
در شکل بالا H مرکز ارتفاعی مثلث است و AF بر ED عمود است. نشان دهید NY موازی HX است
آخرین ویرایش توسط مدیر
پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه
راه حل اول مسئله ی نوزدهم) با توجه به تقارن و کلیت حکم نسبت به به رئووس اگر محل همرسی زیر میانه ها روی خطی باشد که وسط ضلع روبرو به راس A را به وسط ارتفاع متناظر با راس A وصل میکند پس تواما باید روی خطوط متناظر راس B و C باشد نیز باید باشد !! پس ابتدا ثابت میکنیم که
در هر مثلث سه خط La و Lb و Lc همرسند؟! ( که خودش به تنهایی سوال بدی نیست!)
برای اثبات همرسی سه خط از مثلث میانه ای استفاده میکنیم چون در مثلث میانه ای (MNP) ارتفاع ها همرسند پس در مثلث ABC سه خط La و Lb و Lc همرسند (؟)
حال برای اثبات حکم اصلی کافیست نشان دهیم در شکل زیر AF زیر میانه است!
که برای اثبات این مطلب نیز از لم زیر استفاده میکنیم...در مثلث ABC نقاط D,E,F پای ارتفاع ها و نقاط D' و E' و F' قرینه این نقاط نسبت به وسط اضلاع . محل همرسی D'A و E'B و F'C را H' مینامیم.H' را به وسط ضلع BC وصل کرده و به اندازه خود امتداد میدهیم تا به نقطه K برسیم..نشان دهید AK زیر میانه است!
راه حل اول مسئله ی نوزدهم) با توجه به تقارن و کلیت حکم نسبت به به رئووس اگر محل همرسی زیر میانه ها روی خطی باشد که وسط ضلع روبرو به راس A را به وسط ارتفاع متناظر با راس A وصل میکند پس تواما باید روی خطوط متناظر راس B و C باشد نیز باید باشد !! پس ابتدا ثابت میکنیم که
در هر مثلث سه خط La و Lb و Lc همرسند؟! ( که خودش به تنهایی سوال بدی نیست!)
حال برای اثبات حکم اصلی کافیست نشان دهیم در شکل زیر AF زیر میانه است!
آخرین ویرایش توسط مدیر
پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه
راه حل دوم مسئله ی نوزدهم) در حل مسئله ی هجدهم از لمی استفاده کردیم که اینجا علاوه بر استفاده مجدد میخوایم کاملترش کنیم اگر مماس بر دایره محیطی مثلث ABC در راس A ضلع BC را در P قطﻊ ﮐﻧد و AD زﯾر ﻣﯾﺎﻧﮫ ﻧظﯾر راس A ﺑﺎﺷد ﭼﮭﺎر ﻧﻘطﮫ P,B,D,C ﺗﺷﮑﯾل ﯾﮏ دﺳﺗﮕﺎه ﺗواﻓﻘﯽ ﻣﯾدھﻧد و ﺑر ﻋﮑس!!
ﻗﺑل از اداﻣﮫ ﺣل ﻧﯾز ﭼﻧدﺗﺎ از رواﺑط اﺳﺎﺳﯽ در ﺗﻘﺳﯾم ﺗواﻓﻘﯽ رو ﻣﯾﮕم ﮐﮫ ﻧﻣﯾدوﻧم ﭼرا تو ﮐﺗﺎﺑﺎ (ﺑﮫ ﺻورت ﻧﮑﺗﮫ ﯾﺎ ﻟم) ﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺎ ﺑﮭﺷون اﺷﺎره ﻧﻣﯾﮑﻧن و ﺗو ھر ﺳواﻟﯽ ﮐﮫ ﻧﯾﺎز ﭘﯾدا ﻣﯾﮑﻧن از اول ﺷروع ﺑﮫ اﺛﺑﺎت ﻣﯾﮑﻧن!!؟؟
ﺣﺎﻻ دﯾﮕﮫ ﺑﺎ ﺗوﺟﮫ ﺑﮫ ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻣون ﻣﯾﺗوﻧﯾم ﺳواﻟو ﺣل ﮐﻧﯾم..در راس B و C دو ﻣﻣﺎس ﺑر داﯾره ﻣﯾزﻧﯾم ﺗﺎ ھﻣدﯾﮕر رو در F ﻗطﻊ ﮐﻧﻧد ﭘﺎره ﺧط AF (ﮐﮫ زﯾر ﻣﯾﺎﻧﮫ ﻧظﯾرراس A اﺳت!) ﭘﺎره ﺧط MN رادر K ﻗطﻊ ﻣﯾﮑﻧد ﻧﺷﺎن ﻣﯾدھﯾم CK ﻧﯾز زﯾر ﻣﯾاﻧﮫ اﺳت!
راه حل دوم مسئله ی نوزدهم) در حل مسئله ی هجدهم از لمی استفاده کردیم که اینجا علاوه بر استفاده مجدد میخوایم کاملترش کنیم اگر مماس بر دایره محیطی مثلث ABC در راس A ضلع BC را در P قطﻊ ﮐﻧد و AD زﯾر ﻣﯾﺎﻧﮫ ﻧظﯾر راس A ﺑﺎﺷد ﭼﮭﺎر ﻧﻘطﮫ P,B,D,C ﺗﺷﮑﯾل ﯾﮏ دﺳﺗﮕﺎه ﺗواﻓﻘﯽ ﻣﯾدھﻧد و ﺑر ﻋﮑس!!
آخرین ویرایش توسط مدیر
پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه
راه حل دوم مسئله ی بیست و چهارم: تقسیم همساز) قبل از حل سوال یه لم ساده رو ببینیم: اگر تو مثلث قائم الزاویه ABC خط دلخواه La گذرنده از راس C رو رسم کنیم و از راس A بر La عمود کنیم خط La و عمود وارد شده بر آن به ترتیب پاره خط های AD و BD را به یک نسبت تقسیم میکنند
برای اینکه نشان دهیم BE مماس بر دایره است کافیست در شکل زیر نشان دهیم BD نیمساز مثلث EBC است(چرا؟)
در مثلث BDC پاره خطهای DP و BM میانه هستند پس همدیگر رو به نسبت 1 به 2 تقسیم میکنند و طبق لم نسبت KP به BK هم 1 به 2 میشود از آنجا که BP=PC است و نسبت PC به BC هم 1 به 2 میشود و این یعنی اینکه این چهار نقطه تشکیل تقسیم همساز میدهند!
واز آنجا که نقطه A علاوه بر این چهار نقطه به چهار نقطه T وE وD وC هم میتابه این چهار نقطه هم تشکیل تقسیم توافقی میدهند و چون BD هم به AT عموده در نتیجه در مثلث EBC دو پاره خط BT و BD نیمساز های خارجی و داخلی اند و این یعنی BE بر دایره مماس است!!
راه حل دوم مسئله ی بیست و چهارم: تقسیم همساز) قبل از حل سوال یه لم ساده رو ببینیم: اگر تو مثلث قائم الزاویه ABC خط دلخواه La گذرنده از راس C رو رسم کنیم و از راس A بر La عمود کنیم خط La و عمود وارد شده بر آن به ترتیب پاره خط های AD و BD را به یک نسبت تقسیم میکنند
برای اینکه نشان دهیم BE مماس بر دایره است کافیست در شکل زیر نشان دهیم BD نیمساز مثلث EBC است(چرا؟)
در مثلث BDC پاره خطهای DP و BM میانه هستند پس همدیگر رو به نسبت 1 به 2 تقسیم میکنند و طبق لم نسبت KP به BK هم 1 به 2 میشود از آنجا که BP=PC است و نسبت PC به BC هم 1 به 2 میشود و این یعنی اینکه این چهار نقطه تشکیل تقسیم همساز میدهند!
واز آنجا که نقطه A علاوه بر این چهار نقطه به چهار نقطه T وE وD وC هم میتابه این چهار نقطه هم تشکیل تقسیم توافقی میدهند و چون BD هم به AT عموده در نتیجه در مثلث EBC دو پاره خط BT و BD نیمساز های خارجی و داخلی اند و این یعنی BE بر دایره مماس است!!
آخرین ویرایش توسط مدیر
پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه
تو راه حل دوم راه دیگه میتونید پیدا کنید که نشون بده 4 نقطه TوEوDوC تشکیل تقسیم توافقی میدهند؟!
راه حل سوم مسئله ی بیست و چهارم: مثلثاتی) این راهو مختصر مینویسم ایشالا که واضح باشه.
یه لم ساده تو مثلث متساوی الساقین:
امتداد AB و CE همدیگرو تو K قطع میکنند...در مثلث متساوی الساقین AKP مثلث BCH مثلث پادک است برای اثبات حکم کافیست نشان دهیم امتداد BE از H رد میشود یا به عبارت دیگر E روی ضلع BH از مثلث پادک قرار دارد !! مینویسیم:
در نتیجه E روی ضلع BH قرار دارد و این یعنی BD نیمساز EBC است و BE مماس!!
تو راه حل دوم راه دیگه میتونید پیدا کنید که نشون بده 4 نقطه TوEوDوC تشکیل تقسیم توافقی میدهند؟!
راه حل سوم مسئله ی بیست و چهارم: مثلثاتی) این راهو مختصر مینویسم ایشالا که واضح باشه.
یه لم ساده تو مثلث متساوی الساقین:
امتداد AB و CE همدیگرو تو K قطع میکنند...در مثلث متساوی الساقین AKP مثلث BCH مثلث پادک است برای اثبات حکم کافیست نشان دهیم امتداد BE از H رد میشود یا به عبارت دیگر E روی ضلع BH از مثلث پادک قرار دارد !! مینویسیم:
پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه
راه حل چهارم مسئله ی بیست و چهارم:سوا سینوسی) در مثلث ABD برای سه خط سوایی AE و BE و DEسوا سینوسی بنویسید (این راه هم تمیز در میاد)
راه حل پنجم مسئله ی بیست و چهارم:زیر میانه!) برای حل سوال از این نکته استفاده کنید که در شکل زیر CN زیر میانه نظیر راس C از مثلث BCD است .(اگر کسی راه حلو با استفاده از این ایده بتونه بنویسه باریکلا داره)
مسئله بیست و پنجم) در شکل زیر نشان دهید چهار نقطه O و P و A و Q بر روی یک دایره اند؟!
راه حل چهارم مسئله ی بیست و چهارم:سوا سینوسی) در مثلث ABD برای سه خط سوایی AE و BE و DEسوا سینوسی بنویسید (این راه هم تمیز در میاد)
راه حل پنجم مسئله ی بیست و چهارم:زیر میانه!) برای حل سوال از این نکته استفاده کنید که در شکل زیر CN زیر میانه نظیر راس C از مثلث BCD است .(اگر کسی راه حلو با استفاده از این ایده بتونه بنویسه باریکلا داره)
مسئله بیست و پنجم) در شکل زیر نشان دهید چهار نقطه O و P و A و Q بر روی یک دایره اند؟!