مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

hkh74 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

منظور mehran88 رو یک طور دیگه میگم اگه متوجه نشدید بگید:

می خواهیم ثابت کنیم:

$\log_ab<\log_cd$

. معادله ی خط واصل دو نقطه ی

$(a,b)\; ,(c,d)$

در صفحه ی xy برابر است با:

$y(x)=\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b$

اکنون کافی است (و نه لازم) ثابت کنیم:

$f(x)=\log_xy(x)$

اکیدا نزولی(اکیدا صعودی) است اگر a>c (اگر a<c) . چون با جایگذاری a,c در f نتیجه ی مطلوب به دست می آید.

Aref · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

یک چیز مرتبط:
AoPS Forum - Inequalities Marathon • Art of Problem Solving
پست 1373 و 1374
صفحه ی 69

alich100 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

اون تیکش رو می تونیم طبق نمودار بگیم یا اینکه مشتق

$n^x$

در هر x بزرگتر از 1 بزرگتر از مشتق

$(n-1)^x$

است چون:

$\frac{\partial n^x}{\partial x}=n^x(ln(n)), \frac{\partial (n-1)^x}{\partial x}=(n-1)^x(ln(n-1))$

و همچنین داریم:

$\frac{ln(n)}{ln(n-1)}> 1> (1-\frac{1}{n})^x=\frac{(n-1)^x}{n^x}\rightarrow n^x(ln(x))> (ln(n-1))(n-1)^x$

البته فک کنم مقدماتی نبود!!
ولی مقدماتیش اینه که واضحه با توجه با نمودار

$n^x$

و

$(n-1)^x$

در x های بزرگتر از صفر (البته ما بزرگتر از یک می خواهیم که این شاملش میشود) اختلاف این دو نمودار هر لحظه در حال افزایش است!
(فک کنم راهم با راه آقا/خانم hkh74 یکی شد!)

توجه شود که من جواب آقای شریفی رو داشتم میدادم!!!!!!!!!!!!!!!

مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

hkh74

New Member

Aref

New Member

alich100

New Member