مینیمم مثلثاتی

mmahdit · 1394/2/24

حداقل مقدار عبارت زیر را بیابید:

$|\cos\alpha |+|\cos\beta |+|\cos \gamma |+|\cos (\alpha -\beta )|+|\cos (\beta -\gamma )|+|\cos (\gamma -\alpha )|$

که در آن

$\alpha ,\beta ,\gamma$

اعدادی حقیقی هستند.

حمید آنالیز · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

از فرمول جمع به ضرب استفاده میکنیم و در می اید :

$cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )$

پس صورت مسئله تبدیل میشود به:

$\sum \cos(\alpha )+\sum \cos(\alpha )\cos(\beta )+\sum \sin(\alpha)\sin(\beta)$

حال با استفاده از نامساوی حسابی هندسی مینیمم برابر میشود با حاصل:

$9\sqrt{\prod \cos^3(\alpha).\prod \sin^2(\alpha)}$

که با مشتقات میتوان بدست اورد که جواب این میشود:

$9\sqrt{(\frac{6\sqrt{\frac{3}{5}}}{25})^3}$

البته که فرجه همه ی رادیکال هایی که گفتم 9 هستش.
امیدوارم جوب نزده باشم.:4:

Sharifi_M · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

خب حالت تساوی چیه؟
+اطمینان حاصل کردین که تمام عبارات سمت چپ نامساوی مثبت باشن؟(شرط نامساوی حسابی هندسی)

حمید آنالیز · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

خوب برای حالت تساوی باید این معادله رو حل کنین:4:

$(\cos x)^2(1+\cos x)=1$

و حال برای این که مطمئن باشین من استفاده کردم من همه ی زاویه ها رو در بازه ی 0 تا 90 درجه گرفتم:4:!

Sharifi_M · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

ولی فرض سوال نگفته زاویه ها در این بازه اند!
+معادله هه رو حل کن دیگه :4:
++ x چیه؟

حمید آنالیز · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

خوب اگه دایره مثلثاتی بلد باشی منظورمو میفهمی.
xهم با الفا بتا گاما برابرند :4:

Sharifi_M · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

یجای کارت قطعا میلنگه!
چون اون رادیکاله جوابش تقربیا میشه 5.13654935 ولی اگه ما زاویه ها رو 90 بزاریم حاصل میشه 3!

حمید آنالیز · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

ولی الان دریافتم که چون تعداد عوامل cosزیاد است اگر دوتا از زاویه هارو 90 بزاریم و سومی رو کمترین مقدارشو حساب کنیم بدست میاد 2 چون لونوقت باید بدست یاریمکمترین مقدار عبارت:
1+|(2sin(x|+|cos(x|

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2B2%7Csin%28x%29%7C%2B%7Ccos%28x%29%7C

Sharifi_M · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

چرا این مینیممه؟ چرا اون دوتا زاویه رو 90 گذاشتی؟

حمید آنالیز · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

Moshk گفت

اگه منظورت 2 باشه اره و اگه منظورت اون عبارته که اگه اون نود های دوتا رو بزاریم و جاگزاری کنیم اون عبارت میاد که باید کمترین مقدارشو بدست بیاریم.:4:

mmahdit · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

mmahdit گفت

لم : ثابت میکنیم اگر

$a+b+c=0$

آنگاه

$|\cos a|+|\cos b|+|\cos c| \geq 1$

اثبات : داریم

$|\cos a|+|\cos b|+|\cos c|\geq |\cos a|+|\sin c|.|\cos b|+|\sin b|.|\cos c| \geq |\cos a| + |\cos b \sin c+\cos {c} \sin b| = |\cos a| +|\sin(b+c)|$

به همین ترتیب

$|\cos (a)| +|\sin(b+c)| \geq |cos( a) \cos (b+c)|+|\sin( a) \sin (b+c)| \geq |\cos( a) \cos(b+c)-\sin (a) \sin(b+c)|= |\cos(a+b+c)| \geq 1$

و لم ثابت شد.

حال برای سه تایی های

$(-\alpha ,\beta , \alpha -\beta )$

و

$(-\beta ,\gamma , \beta -\gamma )$

و

$(-\gamma ,\alpha , \gamma -\alpha )$

و

$(\alpha -\beta ,\beta -\gamma ,\gamma -\alpha )$

این لم را به کار می گیریم و بدست می آید:

$|\cos (-\alpha )|+|\cos (\beta )|+|\cos (\alpha -\beta )|\geq 1$

$|\cos (-\beta )|+|\cos (\gamma )|+|\cos (\beta -\gamma )|\geq 1$

$|\cos (-\gamma )|+|\cos (\alpha )|+|\cos (\gamma -\alpha )|\geq 1$

$|\cos (\alpha -\beta )|+|\cos (\beta -\gamma )|+|\cos (\gamma -\alpha )|\geq 1$

با جمع این نامساوی ها بدست می اید :

$|\cos (\alpha )|+|\cos (\beta )|+|\cos(\gamma )|+|\cos (\alpha -\beta )|+|\cos (\beta -\gamma )|+|\cos (\gamma -\alpha )|\geq 2$

برای

$(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 0)$

تساوی رخ می دهد.

حمید آنالیز · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

mmahdit گفت

لم : ثابت میکنیم اگر

$a+b+c=0$

آنگاه

$|\cos a|+|\cos b|+|\cos c| \geq 1$

اثبات : داریم

$|\cos a|+|\cos b|+|\cos c|\geq |\cos a|+|\sin c|.|\cos b|+|\sin b|.|\cos c| \geq |\cos a| + |\cos b \sin c+\cos {c} \sin b| = |\cos a| +|\sin(b+c)|$

به همین ترتیب

$|\cos (a)| +|\sin(b+c)| \geq |cos( a) \cos (b+c)|+|\sin( a) \sin (b+c)| \geq |\cos( a) \cos(b+c)-\sin (a) \sin(b+c)|= |\cos(a+b+c)| \geq 1$

و لم ثابت شد.

حال برای سه تایی های

$(-\alpha ,\beta , \alpha -\beta )$

و

$(-\beta ,\gamma , \beta -\gamma )$

و

$(-\gamma ,\alpha , \gamma -\alpha )$

و

$(\alpha -\beta ,\beta -\gamma ,\gamma -\alpha )$

این لم را به کار می گیریم و بدست می آید:

$|\cos (-\alpha )|+|\cos (\beta )|+|\cos (\alpha -\beta )|\geq 1$

$|\cos (-\beta )|+|\cos (\gamma )|+|\cos (\beta -\gamma )|\geq 1$

$|\cos (-\gamma )|+|\cos (\alpha )|+|\cos (\gamma -\alpha )|\geq 1$

$|\cos (\alpha -\beta )|+|\cos (\beta -\gamma )|+|\cos (\gamma -\alpha )|\geq 1$

با جمع این نامساوی ها بدست می اید :

$|\cos (\alpha )|+|\cos (\beta )|+|\cos(\gamma )|+|\cos (\alpha -\beta )|+|\cos (\beta -\gamma )|+|\cos (\gamma -\alpha )|\geq 2$

برای

$(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 0)$

تساوی رخ می دهد.

روش من غلط بود؟راه حلتون جالب بود.

mmahdit · 1394/3/21

پاسخ : مینیمم مثلثاتی

حمید آنالیز گفت

به نظر میاد قدرمطلق ها رو درست و با دقت در نظر نگرفتی. مثلا از جمعوندهای داخل یه قدر مطلق با داخل یه قدرمطلق دیگه نامساوی میانگین زدی که این غلطه

مینیمم مثلثاتی

mmahdit

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Sharifi_M

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Sharifi_M

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Sharifi_M

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Sharifi_M

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

mmahdit

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

mmahdit

New Member