نابرابری برای ب.م.م

M_Sharifi · 1389/1/30

یه سوال:
ثابت کنید نابرابری

[center:a3274f0d5e]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)>4n^2$

برای همه ی مقادیر طبیعی

$n$

، به جز تعدادی متناهی

$n$

، برقرار است.

[/center:a3274f0d5e]

shoki · 1389/1/31

باید ثابت کرد که دو برابر مجموع همه ی ب مم های (1+i,n) به طوری که i از 1 تا n+1 می ره، به ازای n های به اندازه ی کافی بزرگ حداقلش
4+7n هست که کار خیلی راحتیه .
البته می شه این حد پایین رو خیلی قوی تر هم کرد .

M_Sharifi · 1389/2/2

shoki گفت

منظورت استقرا هستش؟

shoki · 1389/2/2

نه خیر یه چیز با حال تر

در واقع به جای 4 می شه هر عدد دلخواه حقیقی رو گذاشت ...

M_Sharifi · 1389/2/3

shoki گفت

آخه این که نوشتی ((دو برابر مجموع همه ی ب مم های (1+i,n) به طوری که i از 1 تا n+1 می ره، به ازای n های به اندازه ی کافی بزرگ حداقلش 4+7n هست)) که واضحه غلطه.

shoki · 1389/2/3

vvvvvvvvvvvaaaaaaaaaayyyyyyyyyyyy
پوزش می طلبم

اصلا معلوم نیست دارم چی کار می کنم !!! منو ببخشید !!! ...
در واقع پیش خودم این طوری فکر کردم که ...

قرار دهید :

و هم چنین

حالا کافیه ثابت کنیم که به ازای n های به اندازه ی کافی بزرگ داریم :

(چرا ؟) و این یعنی این که

در ادامه داریم :

پس به دست می آوریم :

.... عجب سوتی گنده ای نه

... و این یعنی

... به خاطر همین بود که گفتم به جای 4 می شه هر عدد حقیقی رو گذاشت !!!
باز هم معذرت می خوام ...
حالا هم که شما ایده ی حل سوال رو گفتید ... پس مسئله سوخت

M_Sharifi · 1389/2/3

من راه حلم بدون استقراست. ولی از اون چیزی که گفتی به نظرم رسید که شاید داری استقرا می زنی. تا فردا اگه کسی حلی نداشت، راه حلم رو می نویسم.

M_Sharifi · 1389/2/5

مجموع

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)$

برابر است با

$\frac{n(n+1)}2$

به علاوه ی دو برابر مجموع ب.م.م های به فرم

$\gcd(ax,bx)$

، که

$1\leq a<b\leq n$

و

$bx\leq n$

و

$(a,b)=1$

. اگر

$b$

را ثابت در نظر بگیریم، آن گاه

$x\in\{1,2,\ldots,\lfloor \frac nb\rfloor\}$

. بنابراین مجموع همه ی این ب.م.م ها برابر است با

[center:29401aea16]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)=\frac{n(n+1)}2+2\sum_{b=1}^n\left(1+2+\cdots+\lfloor \frac nb\rfloor \right )\varphi(b)$

از طرفی

$2\sum_{b=1}^n\left(1+2+\cdots+\lfloor \frac nb\rfloor \right )\varphi(b)\geq \sum_{b=1}^n\left(\frac nb \right )\left(\frac nb-1 \right )\varphi(b)\\~~~~~~~~ =n^2\sum_{b=1}^n\frac{\varphi(b)}{b^2}-n\sum_{b=1}^n\frac{\varphi(b)}b\geq n^2\sum_{b=1}^n\frac{\varphi(b)}{b^2}-n^2$

در نتیجه

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)\geq n^2\sum_{b=1}^n\frac{\varphi(b)}{b^2}-n^2+\frac{n(n+1)}2\geq n^2\sum_{b=1}^n\frac{\varphi(b)}{b^2}-\frac{n^2}2$

از طرفی

$\sum_{b=1}^n\frac{\varphi(b)}{b^2}\geq\sum_p\frac{p-1}{p^2}=\sum_p\left(\frac1{p}-\frac1{p^2}\right)$

که مجموع بالا روی همه ی اعداد اول کوچک تر از

$n$

محاسبه شده است. حال اگر

$n\to\infty$

، مجموع واگرا می شود. بنابراین برای هر

$c$

، نابرابری

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)\geq cn^2$

برای

$n$

های به اندازه ی کافی بزرگ برقرار است.

[/center:29401aea16]

نابرابری برای ب.م.م

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی