پاسخ نامه ی تشریحی آزمون 8 بهمن(به همراه نظرسنجی برای تعیین کف)

[AidinT]

سلام دوستان،
قصد داریم با هم یک پاسخ نامه ی تشریحی برای مرحله ی 1 طراحی کنیم. برای هر سوال راه حل های خودتون رو قرار بدین! راه حل ها رو تدوین می کنیم و به صورت تفکیک شده اینجا قرار می دیم...
فقط لطفاً با توجه به ترتیب سوالی که قرار می دم راه حلتون رو بذارین و هیچ سوالی رو خارج از نوبت جواب ندین و از بیان موضوعات بی ربط هم بپرهیزید.
با تشکر

کلید کد 1:

این هم کد 2:

 

[AidinT]

[center:81043051d6]1

بزرگترین عدد طبیعی n که هر کدام از اعداد 11n،...،3،2،1 حداکثر سه مقسوم علیه اول داشته باشد چند است؟

​

[/center:81043051d6]
جواب:
کوچکترین عددی که دارای 4 مقسوم علیه متفاوت است، عددی است که از 4 عدد نخست اول(2و3و5و7) تشکیل شده است. بدیهی است که توان تک تک این اعداد اول برای حداقل بودن عدد حاصل، یک است. در نتیجه کوچکترین عدد برابر 2*3*5*7 = 210
در نتیجه تمامی اعدادی که از این عدد کوچکترند حداکثر 3 مقسوم علیه اول دارند و اگر n را طوری تعیین کنیم که 11n از 210 بیشتر شود، 210 خود نقضی برای شروط محسوب خواهد شد. پس 11n<210 و بزرگترین n که در این شرایط صدق می کند 19 است.

 

[AidinT]

[center:ce1ff4ef56]2

دوازده کشتی گیر در جام جهان پهلوان تختی شرکت کرده اند. ممکن است دو کشتی گیر چند بار با هم مبارزه کنند. کسی که پنج بار ببازد از دور رقابت ها حذف می شود. در این جام حداکثر چند کشتی برگزار می شود؟(توجه کنید که کشتی تساوی ندارد.)​

[/center:ce1ff4ef56]
جواب:
کافیست به این نکته توجه کنیم که در هر مسابقه یک نفر می بازد و یک نفر می برد. در نتیجه در پایان مسابقات مجموع تعداد باخت ها برابر مجموع تعداد بردهاست و همچنین مجموع باخت ها برابر مجموع کشتی های انجام شده است. باید حداکثر تعداد باخت ها را محاسبه کنیم.
چون طبق فرضیات می دانیم یک نفر قهرمان می شود و بقیه با 5 بار باخت حذف می شوند پس 11*5 باخت برای حذف یازده نفر نیاز است. نفر اول نیز حداکثر 4 بار باخته است و مجموعاً حداکثر باخت 59 است که همان حداکثر کشتی است.

مثال حالت:
نفر دوازدهم، چهار بار نفر اول را شکست دهد، نفر یازدهم پنج بار نفر دوازدهم را شکست دهد، نفر دهم پنج بار نفر یازدهم را شکست دهد و .... و نفر اول 5 بار نفر دوم را شکست دهد. بدین ترتیب همه ی بازیکنان به جز نفر اول حذف شده و نفر اول قهرمان می شود و 59 بازی انجام شده است.

 

[AidinT]

[center:41257986f7]3[/center:41257986f7][center:41257986f7]

نمرات دانش آموزان یک کلاس 11 نفره اعدادی صحیح از 0 تا 20 است. فرض کنید میانگین نمرات 18 و میانه ی نمرات 19 است؛کم ترین نمره ی کلاس حداقل چند می تواند باشد؟(میانه ی 11 نمره، نمره ای است که پس از مرتب کردن نمرات به ترتیب نزولی، در رتبه ی ششم قرار می گیرد.)​

[/center:41257986f7]
جواب:

مجموع نمرات را برابر 18 * 11 = 198 است. برای اینکه حداقل نمره ی کلاس حساب شود، باید بقیه ی نمرات حداکثر باشند. برای این منظور نمرات را به شکل زیر در نظر می گیریم:

x,19,19,19,19,19,20,20,20,20,20

با توجه به مجموع نمرات x (حداقل نمره ی کلاس) برابر 3 است

 

[AidinT]

دوستان عزیز، لطفاً حول مسائل مطرح شده بحث کنید و از بحث و بررسی سوالات بعدی خودداری کنید، در صورت انجام، پیغام شما حذف خواهد شد.
----
راه حل های مطرح شده توسط دوستان،پس از تکمیل پاسخ تشریحی حذف می گردد تا تاپیک نظم خود را از دست ندهد.(لازم به ذکر است، پاسخ ها با جمع بندی نظرات کاربران ارائه می شوند)
----
نظرات دوستان عزیز پس از اعمال نظر بر پاسخ سوالات، برای جلوگیری از بی نظمی تاپیک حذف می گردد.
----
از دوستانی که به ما در تهیه ی این پاسخ نامه یاری می رسانند تشکر می کنم.

 

[AidinT]

[center:505006de16]4[/center:505006de16]
قيمت سهام شرکت « نوسانسازان شديد » دچار نوسانات شديدی شده است! در ابتدای ورود شرکت به بازار بورس، هر سهم آن هزار ريال قيمت گذاری شد. پس از يک روز، قيمت هر سهم يک ريال کاهش پيدا کرد. سپس به مدت دو روز، هر روز يک ريال افزايش يافت. سپس به مدت سه روز، هر روز يک ريال کاهش يافت و الی آخر. بعد از گذشت 365 روز از ورود شرکت به بازار بورس قيمت هر سهم چند ريال است؟

جواب:

با دقت بر روی صورت سوال، این نکته را در می یابیم که به ازای هر i روز(i فرد) ، i ریال از قیمت سهام کم و به ازای هر i روز (i زوج) i ریال به قیمت سهام افزوده می شود. یک مرحله را یک فرآیند کم شدن یا زیاد شدن مقدار i ریال به قیمت سهام در i روز تعریف می کنیم. می دانیم مجموع i ها برابر 365 است. می دانیم i ها اعداد طبیعی هستند و مجموع آن ها به صورت

است که در آن n بزرگترین i است که در شرایط صدق می کند. با برابر قرار دادن 365 و

و حل معادله، عددی تقریباً برابر 26.5 بدست خواهد آمد که نشان می دهد 26 امین مرحله، آخرین مرحله ای است که به طور کامل، هر روز 1 ریال بر سهام اضافه کرده است. مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 26 برابر 351 است که نشان می دهد 14 روز پس از مرحله ی 26 ام، هر روز 1 ریال از قیمت سهام کم شده است. پس قیمت سهام در روز آخر برابر:



[center:505006de16]

[/center:505006de16]

 

[AidinT]

[center:1f4a9bb24d]5[/center:1f4a9bb24d]
به ازای چند عدد صحیح a، معادله ی

ریشه ای صحیح دارد؟

جواب:
ضرب ریشه ها، عدد صحیح 1389 است. پس اگر یکی از ریشه ها صحیح باشد، ریشه ی دیگر لزوماً صحیح است. حال با تجزیه ی 1389 داریم:

حال با دسته بندی حالت ها برای x1 و x2 داریم:

و چون در معادله ی درجه ی دوم جمع ریشه ها قرینه ی ضریب توان یک x است پس داریم:

پس جواب این مسأله 4 است.

 

[AidinT]

[center:6ad193689a]6

فرض کنید n کوچکترین عدد طبیعی بزرگتر از 1 باشد که برای m از 2 تا 6،

عددی طبیعی است. n چند مقسوم علیه مثبت دارد؟

جواب:
عدد مورد نظر باید در تابع

جواب صحیح داشته باشد. در نتیجه n باید به صورت عددی صحیح به توان 2k باشد. با استدلالی مشابه عدد n باید به صورت عددی صحیح به توان 3k باشد و ... . در نتیجه عدد n باید عددی صحیح به توان ک.م.م اعداد 2 تا 6(یعنی 60) باشد.
با کمی بررسی در می یابیم که عدد مورد نظر 60^2 است و این عدد 61 مقسوم علیه مثبت دارد​

[/center:6ad193689a]

 

[AidinT]

[center:45e379845c]7
[/center:45e379845c]طول محفظه کاميونی 4 متر و عرض و ارتفاع آن 2 متر است. مقداری آب در محفظه کاميون جمع شده که در حالت افقی بودن محفظه، ارتفاع آن 10 سانتی متر است. راننده می خواهد برای جلوگيری از زنگ زدن محفظه، آن را بالا بياورد طوری که سطح تماس آب با بدنه کمترين مقدار ممکن شود. سقف و در محفظه بسته است. او بايد محفظه را چند درجه بالا بياورد؟ (اگر جواب عددی اعشاری است فقط قسمت صحيح آن را بنويسيد.)

جواب:
با بالا آوردن محفظه، سطح برخورد آب با سطح روبروی ما(سطح جانبی)، به شکل ذوزنقه ی قائم الزاویه یا مثلث قائم الزاویه خواهد بود. مجموع قاعده ی کوچک و بزرگ در ذوزنقه و همچنین طول یکی از اضلاع مثلث قائم الزاویه را y و طول ارتفاع ذوزنقه و ضلع دیگر مثلث را x می نامیم. در حالت ذوزنقه y = 4 و x=0.2.
می دانیم که حجم آب عدد ثابت 0.1*2*4 = 0.8 است. چون با بالا آوردن محفظه، شکل فضایی آب درون محفظه منشور خواهد بود، در نتیجه:

پس xy عددی ثابت است. از طرفی مساحت پوشانده شده توسط آب در این حالت ها برابر

است. پس برای یافتن کمترین مقدار مساحت پوشانده شده توسط آب، کمترین مقدار x+y را بیابیم. طبق نامساوی حسابی هندسی داریم:

پس کمترین مقدار x+y برابر

است و برابری نامساوی بالا هم در حالت x = y رخ می دهد.
در نتیجه باید x=y باشد تا کمترین مقدار مساحت به وجود آید. این شرط نیز هرگز در حالت ذوزنقه برقرار نخواهد بود. زیرا در حالت ذوزنقه y = 4 و x = 0.2 است.
در نتیجه قاعده ی منشور حاصل از بالا آوردن محفظه مثلثی قائم الزاویه ای است به شکل زیر:

اگر x= y در این صورت

. حال باید از این نکته استفاده کنیم که سطح آب در صورت عدم وجود نیرویی به جز گرانش، همواره موازی با سطح زمین خواهد بود. با توجه به این نکته

برابر زاویه ای است که محفظه به اندازه ی آن بالا آمده است.

 

[AidinT]

[center:bd1958688b]8[/center:bd1958688b]
کوچکترین عدد n که

مقسوم علیه

باشد، چند است؟

بحث و بررسی فقط و فقط پیرامون همین سوال

 

[happymoj]

اره راست می گه حالا به نظرتون کف المپیاد حدودا چنده؟؟؟؟؟؟؟؟

 

[mimilad]

به نظر من كه حدود 30 درصد است (يكم از سال هاي قبل بيشتر كه بين 25 تا 27 درصد ) بوده است وفك نميكنم كف از 30 درصد پايين تر بياد .

 

[darrande]

نه کف از پارسال پایین تره چون تعداد سوال ها 5 تا کمتر بود!

 

[mimilad]

شايد هم همين طور باشه كه ميگن ولي اگه كف (به درصد ) بخواد مثل سال پيش بشه (نه كمتر ) كف بايد 6.5 باشه (كه ممكنه ولي احتمالش كمه ) ولي اگه بخواد كمتر از سال پيش بشه بايد نمره حدود 6 بشه كه فك نكنم اين طور بشه البته يه چيز عجيب بگم يكي از افراد كاملا مشهور در المپياد اعلام كردن كه كف حدود 5.5 است كه خيلي جاي تعجب داره .

 

[mehrak_n]

نه کف از پارسال پایین تره چون تعداد سوال ها 5 تا کمتر بود!

منم موافقم هم اون همم احتمالآ چون امسال کوتاه جوابم داشت کف بیاد پایین!