سطح سوال این مسابقه برای شما چگونه بود؟

  • ساده و آسان (آب خوردن)

    رای 3 42.9%
  • مشکل و فیتیله‌ای

    رای 4 57.1%

  • مجموع رای دهندگان
    7

IRYSC-team

مدیر آیریسک
ارسال ها
350
لایک ها
683
امتیاز
93
#1
سلام دوستان گرامی،
اولین مسابقه‌ی فیتیلستان ریاضی از امروز آغاز شده و تا صبح جمعه‌ی هفته‌ی آینده (23 آبان) ادامه دارد. برای آشنایی با مسابقه و جوایز آن به اینجا بروید.

در این دور از مسابقه هر کاربر فقط یک بار می‌تواند پاسخ سوال داده شده را در ادامه‌ی تاپیک بنویسد و در پایان 10 مسابقه‌، همه‌ی جواب‌ها به همراه امتیازهای تعلق گرفته به آن‌ها منتشر خواهد شد. فقط 11 هفته‌ی دیگر، برندگان سری اول فیتیلستان ریاضی معرفی می‌شوند و جوایز ایشان اهدا خواهد شد.

[HR][/HR]سوال فیتیلستان 1 ریاضی

بخش اول (نظریه‌ی اعداد)

جایگشت
از اعداد
را مربعی می‌نامیم هرگاه حداقل یکی از اعداد



مربع کامل باشند. بزرگ‌ترین عدد
را بیابید که هریک از جایگشت‌های
مربعی باشند.


-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-

بخش دوم (جبر)

آیا عدد طبیعی
وجود دارد که بتوان مجموعه‌ی
را به ده زیرمجموعه با مجموع اعضای یکسان افراز کرد؟




طراح سوالات این مسابقه: محمد شریفی

[HR][/HR]بهتر است با دلایل کافی، توضیح هر بخش را بنویسید و در صورت نیاز به محاسبه، آن را نیز همین‌جا وارد کنید. دو بخش فرمول نویس (Fx در ادیتور) و آپلودسنتر آیریسک برای گویا و زیبا نوشتن پاسخ‌ها به شما کمک خواهند کرد.
 

MGH000

New Member
ارسال ها
209
لایک ها
219
امتیاز
0
#2
پاسخ : ▬ فیتیلستان ریاضی (1) - 16 آبان 1393 ▬

جواب سوال 1:
ادعا میکنیم برای این که به ازای همه ی جایگشت های اعداد 1و...وn این دنباله مربعی باشد،نیاز است تا جمله ی آخر آن یعنی
مربع کامل باشد.
اثبات ادعا:ابتدا جایگشتی را در نظر میگیریم که در آن
باشد.حال فرض می کنیم در این دنباله ی
به ازای
جمع اعداد 1تا
مربع کامل باشد.
حال در دنباله ی
این تغییرات را ایجاد میکنیم:
و
را بجای
و
قرار میدهیم.در نتیجه به همه ی مربع کامل ها یک واحد افزوده می شود.پس دیگر مربع کامل نخواهند بود(جملات قبل و بعد تغییر نمی کند).حال اگر همه ی این دنباله ها بخواهند مربعی باشند باید جمله ی آخر آنها مربع کامل باشد چون در این جایگشتی که گفتیم هیچ جمله ای مربع کامل نیست مگر جمله ی آخر یعنی
. پس ادعای ما ثابت شد.
در نتیجه
.عبارت را در 4 ضرب کرده و 1 واحد اضافه میکنیم.در نتیجه :
که در اینجا x همان 2n+1 و y هم 2r به توان دو است.
حال باید جواب های معادله پل
را بیابیم که در آن x فرد نیز باشد.کوچکترین جواب نا بدیهی این دستگاه
است پس مجموعه جواب های این معادله به فرم
است. حال :

حال اگر x را مقدار بیشتری قرار دهیم چون
درنتیجه n از 2000 بیشتر خواهد شد و اما ما دنبال جواب ماکزیمم کمتر از 2000 هستیم.
.
پس max{n}<2000 برابر با 1681 است که همه ی جایگشت هایش مربعی هستند.(درواقع جمله ی آخر مربع کامل است).
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,127
امتیاز
0
#3
پاسخ : ▬ فیتیلستان ریاضی (1) - 16 آبان 1393 ▬

بخش اول:
واضح است که
پس اگر
مربع کامل باشد همه ی جایگشت های اعداد 1 تا
مربعی هستند. حالا فرض کنید
مربع کامل نباشد، می خواهیم یک جایگشت از اعداد 1 تا
بیابیم که مربعی نباشد. جایگشت را اینگونه می سازیم به طوریکه از عدد 1 شروع می کنیم و به ترتیب اعداد را از کوچک به بزرگ می نویسیم. حال اگر
برای یک
مربع کامل شد در جایگاه
ام عدد
و در جایگاه
ام عدد
را قرار می دهیم. واضح است که
مربع کامل نیست (زیرا
است) حالا ثابت می کنیم
نمی تواند مربع کامل باشد. برای اثبات این حکم کافی است ثابت کنیم:
سمت چپ این نامساوی که بدیهی است. برای اثبات سمت راست این نامساوی داریم:

با توجه به صحیح بودن نامساوی آخر چیزی که می خواستیم ثابت می شود و جایگشتی که می خواستیم ساخته می شود. حال می خواهیم تمام
هایی را بیابیم که
مربع کامل باشد. فرض می کنیم اینگونه باشد پس داریم (
عددی صحیح است):
حال اگر فرض کنیم
به معادله ی
می رسیم که این یک معادله ی پل است و چون 8 مربع کامل نیست بی نهایت جواب دارد و اولین جواب نا بدیهی آن
است. پس جواب های آن به طریق زیر بدست می آید:
و بزرگترین جواب برای
که کوچکتر از 2000 باشد 1681 است.
 

sepidfekr

New Member
ارسال ها
711
لایک ها
637
امتیاز
0
#4
پاسخ : ▬ فیتیلستان ریاضی (1) - 16 آبان 1393 ▬

1681
برای راحتی کار راه حل به طور مختصر آمده و محاسبات ذکر نشده است

یک جایگشت از 1,2,3,..,n را در نطر بگیرید که ترتیب در آن رعایت شده باشد
حالا جمله
این جایگشت مربع کامل باشد اونوقت
دیگر مربع کامل نیست پس از این رو باید جمله
از این جایگشت یعنی جمله آخر آن مربع کامل باشد
حال بزرگترین n را که در همین شرط صدق میکند را میتوان با معادلع پِل به دست آورد که بعد از انجام این محاسبات این عدد 1681 است
باتشکر و تقدیر از تیم آیریسک به خصوص جناب آقای شریفی:1:
 
بالا